试题

如图，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，将一块与△ABC全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠．
（1）操作1：固定△ABC，将三角板沿C·B方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2示．探究：三角板沿C·B方向平移的距离为；
（2）操作2：在（1）情形下，将三角板绕BC的中点M顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°）如图3示．探究：设三角板两直角边分别与AB、AC交于P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，发现其面积始终不变，那么四边形MPAQ的面积S_{四边形MPAQ}=；
（3）在（2）的情形下，连PQ，设BP=x，记△APQ的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，△PQA面积有最大值，最大值是多少？

解：（1）

2

；
（2）S_{四边形MPAQ}=1；
（3）连AM，易证△AQM≌△BMP，
则AQ=PB=x，AP=2-x，
S_△PQA=

1

2

AP·AQ=

1

2

（2-x）x．
y=

1

2

（2-x）x=-

1

2

x2+x，
y=

1

2

（2-x）x=-

1

2

x2+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，
当x=1时S_△PQA最大=

1

2

．