数学
（2010·昌平区二模）给出三个多项式：
1
2
x
2
-x，
1
2
x
2
+x-1，
1
2
x
2
+3x+1
，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．
（1）解不等式组
x+2＞1
x+1
2
＜2
（2）已知实数a、b满足ab=1，a+b=2，求代数式a
2
b+ab
2
的值．
我们学过因式分解的概念，在计算多项式的过程中，如果能适当地分解因式进行化简，会使得计算更为简单．我们为此引入质因数分解定理：每一个大于1的整数都能分解为质因数的乘积的形式，如果把质因数按照从小到大的顺序排在一起，相同因数的积写成幂的形式，那么这种分解方法是唯一的．请你学习例题的解法，完成问题的研究．
例：试求5746320819乘以125的值．
解：∵125=1000÷8
∴5769320819×125=5746320819000÷8=718290102375
答：由上知，5746320819×125=718290102375．
请根据例题，求一实数，使得它被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1．
利用分解因式证明：25
7
-5
12
能被120整除．
在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x
4
-y
4
=（x-y）（x+y）（x
2
+y
2
），当x=n，y=n时，x-y=0，x+y=18，x
2
+y
2
=162，则密码018162．对于多项式4x
7
-xy
2
，取x=10，y=10，用上述方法产生密码是什么？
已知xy=5，a-b=6，求a
2
xy-2abxy+b
2
xy的值．
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如4=2
2
-0
2
，12=4
2
-2
2
，20=6
2
-4
2
．因此4、12、20都是“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
计算：
2
99
-
2
98
2
101-
2
100
．
设a
1
=3
2
-1
2
，a
2
=5
2
-3
2
，a
3
=7
2
-5
2
…
（1）写出a
n
（n为大于0的自然数）的表达式；
（2）探究a
n
是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（3）若一个数的算术平方根是一个自然数，则这个数是“完全平方数”，试找出a
1
，a
2
，a
3
，…，a
n
这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数；并说出当n满足什么条件时，a
n
为完全平方数（不必说明理由）．
分解因式（或利用分解因式计算）
（1）3ax
2
-6axy+3ay
2
（2）大6大
2
×11-f3大
2
×11．
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