-
观察下列等式
=1-1 1×2
，1 2
=1 2×3
-1 2
，1 3
=1 3×4
-1 3
，将以上三个等式两边分别相加得：1 4
+1 1×2
+1 2×3
=1-1 3×4
+1 2
-1 2
+1 3
-1 3
=1-1 4
=1 4
．3 4
（1）猜想并写出：
=1 n(n+1)
-1 n 1 n+1
-1 n 1 n+1
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①
+1 1×2
+1 2×3
+…+1 3×4
=1 2011×2012 2011 2012 2011 2012
②
+1 1×2
+1 2×3
+…+1 3×4
=1 n×(n+1) n n+1 n n+1
（3）探究并计算：
+1 2×4
+1 4×6
+…+1 6×8
．1 2010×2012 -
观察下列各式，并回答问题
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
…
（1）请你写出第10个式子；
（2）请你用含 n 的式子表示上述式子所表述的规律；
（3）计算1+3+5+7+9…+1003+1005+…+2009+2011；
（4）计算：1005+1007+…+2009+2011． -
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
（2）利用上面的规律计算：35-5×34+10×33-10×32+5×3-1． -
观察以下等式：
①1×2=
×1×2×3，1 3
②1×2+2×3=
×2×3×4，1 3
③1×2+2×3+3×4=
×3×4×5，1 3
④1×2+2×3+3×4+4×5=
×4×5×6…1 3
（1）比照上述规律，请你写出第⑤与第⑦个等式；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
n（n+1）（n+2）1 3 ．
n（n+1）（n+2）1 3 -
（1）计算下列各式并且填空：
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=2525
…
（2）细心观察上述运算和结果，将下列结果用幂表示出来
1+3+5+7+…+195+197+199=10021002．
（3）计算：101+103+10 5+107+…+195+197+199． -
阅读下面的文字，完成后面问题．我们知道
=1-1 1×2
，1 2
=1 2×3
-1 2
，1 3
=1 3×4
-1 3
，那么1 4
=1 4×5
-1 4 1 5 ，
-1 4 1 5
=1 2003×2004
-1 2003 1 2004 ．用含有n的式子表示你发现的规律：
-1 2003 1 2004
=1 n(n+1)
-1 n 1 n+1 ．并依此计算
=1 n(n+1)
-1 n 1 n+1
+1 1×3
+1 3×5
+…+1 5×7
．1 2003×2005 -
读儿歌，并用字母表示这首儿歌．1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水，2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水，3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水，a只青蛙a张嘴a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿2a只眼睛4a条腿，a声扑通跳下水a声扑通跳下水．
-
从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52…
（1）请你推算，从1开始，n个连续奇数相加，它们的和S的公式是什么？
（2）计算1+3+5+…+19的和；
（3）计算11+13+15+…+25的和；
（4）已知：1+3+5+7+…+（2n-1）=225，求n的值． -
观察下面三行数：
-3，9，-27，81，-234，…
-5，7，-29，79，-245，…
-1，3，-9，27，-81…
（1）第一行数按什么规律排列？
（2）第二、第三行数与第一行数分别有什么关系？
（3）分别取这三行数的第10个数，计算这三个数的和． -
观察单项式：-x，2x2，-4x3，8x4，16x5根据其中的规律，得出第n个单项式是（-1）n2n-1xn（-1）n2n-1xn．