试题

题目：
观察下列等式
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，将以上三个等式两边分别相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并写出：
1
n(n+1)
=  
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1

（2）直接写出下列各式的计算结果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
=
2011
2012
2011
2012

②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n×(n+1)
=
n
n+1
n
n+1

（3）探究并计算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2010×2012
．
答案
1
n
-
1
n+1

2011
2012

n
n+1

解：（1）
1
n
-
1
n+1
；（2）①
2011
2012
；②
n
n+1
；
（3）原式=
1
4
（
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
1005×1006
）
=
1
4
×
1005
1006

=
1005
4024
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
观察得到分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，即
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；然后根据此规律把各分数转化，再进行分数的加减运算．对于（3）先提
1
4
出来，然后和前面的运算方法一样．
本题考查了关于数字变化的规律：通过观察数字之间的变化规律，得到一般性的结论，再利用此结论解决问题．
规律型．
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