试题

（2012·白下区一模）如图，山上有一根电线杆，山脚下有一矩形建筑物ABCD，在A、D、C三点测得电线杆顶端F的仰角分别为∠α=48°，∠β=56°，∠γ=65°，测得矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．请你从所测数据中作出选择，计算电线杆顶端到地面的高度FG．（精确到1m）（参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）

解：解法一：如图，延长AD交FG于点E．…（1分）
在Rt△FDE中，tanβ=

FE

DE

，
∴DE=

FE

tanβ

．…（2分）
在Rt△FCG中，tanγ=

FG

CG

，
∴CG=

FG

tanγ

．
…（3分）
∵DE=CG，∴

FE

tanβ

=

FG

tanγ

．
∴

FG-EG

tanβ

=

FG

tanγ

，
即

FG-DC

tanβ

=

FG

tanγ

．
…（5分）
解得FG=

DC·tanγ

tanγ-tanβ

=

33×2.1

2.1-1.5

=115.5≈116．…（7分）
答：电线杆顶端到地面的高度FG约是116m． …（8分）
解法二：如图，延长AD交FG于点E． …（1分）
在Rt△FDE中，tanβ=

FE

DE

，
∴DE=

FE

tanβ

． …（2分）
在Rt△FAE中，tanα=

FE

AE

，
∴AE=

FE

tanα

．…（3分）
∵AE-DE=AD，
∴

FE

tanα

-

FE

tanβ

=AD． …（5分）
∴FE=

AD·tanα·tanβ

tanβ-tanα

．
∴FG=FE+EG=FE+CD=

AD·tanα·tanβ

tanβ-tanα

+CD=115.5≈116．
…（7分）
答：电线杆顶端到地面的高度FG约是116m． …（8分）
解法三：如图，延长AD交FG于点E． …（1分）
在Rt△FCG中，tanγ=

FG

CG

，
∴CG=

FG

tanγ

． …（2分）
在Rt△FAE中，tanα=

FE

AE

，
∴AE=

FE

tanα

．…（3分）
∵AE-CG=AE-DE=AD，
∴

FE

tanα

-

FG

tanγ

=AD． …（5分）
即

FG-CD

tanα

-

FG

tanγ

=AD．
∴FG=

AD·tanα·tanγ+CD·tanγ

tanγ-tanα

=115.5≈116．…（7分）
答：电线杆顶端到地面的高度FG约是116m． …（8分）
解：解法一：如图，延长AD交FG于点E．…（1分）
在Rt△FDE中，tanβ=

FE

DE

，
∴DE=

FE

tanβ

．…（2分）
在Rt△FCG中，tanγ=

FG

CG

，
∴CG=

FG

tanγ

．
…（3分）
∵DE=CG，∴

FE

tanβ

=

FG

tanγ

．
∴

FG-EG

tanβ

=

FG

tanγ

，
即

FG-DC

tanβ

=

FG

tanγ

．
…（5分）
解得FG=

DC·tanγ

tanγ-tanβ

=

33×2.1

2.1-1.5

=115.5≈116．…（7分）
答：电线杆顶端到地面的高度FG约是116m． …（8分）
解法二：如图，延长AD交FG于点E． …（1分）
在Rt△FDE中，tanβ=

FE

DE

，
∴DE=

FE

tanβ

． …（2分）
在Rt△FAE中，tanα=

FE

AE

，
∴AE=

FE

tanα

．…（3分）
∵AE-DE=AD，
∴

FE

tanα

-

FE

tanβ

=AD． …（5分）
∴FE=

AD·tanα·tanβ

tanβ-tanα

．
∴FG=FE+EG=FE+CD=

AD·tanα·tanβ

tanβ-tanα

+CD=115.5≈116．
…（7分）
答：电线杆顶端到地面的高度FG约是116m． …（8分）
解法三：如图，延长AD交FG于点E． …（1分）
在Rt△FCG中，tanγ=

FG

CG

，
∴CG=

FG

tanγ

． …（2分）
在Rt△FAE中，tanα=

FE

AE

，
∴AE=

FE

tanα

．…（3分）
∵AE-CG=AE-DE=AD，
∴

FE

tanα

-

FG

tanγ

=AD． …（5分）
即

FG-CD

tanα

-

FG

tanγ

=AD．
∴FG=

AD·tanα·tanγ+CD·tanγ

tanγ-tanα

=115.5≈116．…（7分）
答：电线杆顶端到地面的高度FG约是116m． …（8分）