试题

学习数学应该积极地参加到现实的、探索的数学活动中去，努力地成为学习的主人．下面，请你探究：随着P点位置的变化，∠BPC与∠A的大小关系．（1）、（2）问用“＞”表示其关系，（3）、（4）、（5）用“=”表示其关系．
1如图（1），点P在AC上（不同于A、C两点），∠BPC与∠A的关系是，用一句话说出你判断的依据；
②如图（2），点P在△ABC内部，∠BPC与∠A的关系是；
③如图（3），点P是∠ABC、∠ACB平分线的交点，此时∠BPC与∠A的关系是；
④如图（4），点P是∠ABC平分线和∠ACB外角平分线的交点，∠BPC与∠A的关系是；
⑤如图（5），点P是∠ABC与∠ACB两外角平分线的交点，∠BPC与∠A的关系是；
⑥在上述五种情形中，选择其中一种情形给予说明理由．
⑦问题解决：
如图（6），在△ABC中，∠C=90°，点P是∠ABC平分线和∠BAC外角平分线的交点，则∠P的度数为．

解：①∠BPC＞∠A．
②∠BPC＞∠A．
③∠BPC=

1

2

（∠A+180°）．
④∠BPC=

1

2

∠A．
⑤∠BPC=

1

2

（180°-∠A）．
⑥第①题，∠BPC＞∠A．
∵如图（1）∠BPC是△APB的外角，
∴∠BPC=∠A+∠ABP．（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）
所以∠BPC＞∠A．
故答案为：∠BPC＞∠A，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
⑦已知点P是∠ABC平分线和∠BAC外角平分线的交点，
∴∠1=∠2，∠3=∠4（角平分线的性质）
∠1+∠2是△ABC的外角，
∴∠1+∠2=∠C+∠3+∠4（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和），
∴2∠2=90°+2∠3（等量代换）
∴∠2=45°+∠3--------①
如图∠2为△APB的外角，
∴∠2=∠P+∠3----------②（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和），
①②等量代换得：
∠P+∠3=45°+∠3，
所以，∠P=45°．
故答案为：45°．