试题

如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线．
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B=α，∠C=β，用含α，β的式子表示∠DAE．

解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠DAC=40°，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=50°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=50°-40°=10°；

（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=β，
∴∠DAC=90°-β，
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-α-β）=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∴当α＜β时，∠DAE=∠EAC-∠DAC=（90°-

1

2

α-

1

2

β）-（90°-β）=

1

2

β-

1

2

α，
当α＞β时，∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-β-（90°-

1

2

α-

1

2

β）=

1

2

α-

1

2

β．
解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠DAC=40°，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=50°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=50°-40°=10°；

（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=β，
∴∠DAC=90°-β，
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-α-β）=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∴当α＜β时，∠DAE=∠EAC-∠DAC=（90°-

1

2

α-

1

2

β）-（90°-β）=

1

2

β-

1

2

α，
当α＞β时，∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-β-（90°-

1

2

α-

1

2

β）=

1

2

α-

1

2

β．