试题

（1999·黄冈）如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧

BC

的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；
（1）求证：OE=

1

2

AC；
（2）求证：

DP

AP

=

BD2

AC2

；
（3）当AC=6，AB=10时，求切线PC的长．

（1）证明：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又D为

BC

中点，
∴OD⊥BC，OD∥AC，
又O为AB中点，
∴OE=

1

2

AC；（4分）

（2）证明：连接CD，PC为切线，
由∠PCD=∠CAP，∠P为公共角，
∴△PCD∽△PAC，（6分）
∴

PC

PA

=

CD

AC

，

PD

PC

=

CD

AC

，
又CD=BD，
∴

DP

AP

=

BD2

AC2

；（8分）

（3）解：∵AC=6，AB=10，
∴BC=8，BE=4，OE=3，
∴DE=2，
∴BD²=DE²+BE²=20，（9分）
∴AD²=AB²-BD²=80，
∴AD=4

5

，（10分）
CD=BD=2

5

，
由（2）

DP

DP+4 5

=

5

9

，

DP

4 5

=

5

4

，
∴DP=5

5

，AP=9

5

，（11分）
∴CP²=DP·AP=45×5，
∴切线PC=15．（12分）
（1）证明：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又D为

BC

中点，
∴OD⊥BC，OD∥AC，
又O为AB中点，
∴OE=

1

2

AC；（4分）

（2）证明：连接CD，PC为切线，
由∠PCD=∠CAP，∠P为公共角，
∴△PCD∽△PAC，（6分）
∴

PC

PA

=

CD

AC

，

PD

PC

=

CD

AC

，
又CD=BD，
∴

DP

AP

=

BD2

AC2

；（8分）

（3）解：∵AC=6，AB=10，
∴BC=8，BE=4，OE=3，
∴DE=2，
∴BD²=DE²+BE²=20，（9分）
∴AD²=AB²-BD²=80，
∴AD=4

5

，（10分）
CD=BD=2

5

，
由（2）

DP

DP+4 5

=

5

9

，

DP

4 5

=

5

4

，
∴DP=5

5

，AP=9

5

，（11分）
∴CP²=DP·AP=45×5，
∴切线PC=15．（12分）