试题

题目：
青果学院如图，在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上，若tanCDO=
4
3
，则矩形CDEF面积的最大值s=
100
7
100
7
．
答案
100
7

青果学院解：设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，
∵tan∠CDO=
4
3
，
∴sin∠CDO=
4
5
，cos∠CDO=
3
5
．
∴CO=
4
5
x．
∵∠FCH+∠OCD=90°，
∴∠FCH=∠CDO．
∴HC=y·cos∠FCH=
3
5
y．
∴FH=
CF2-CH2
=
4
5
y．
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴AH=FH=
4
5
y．
∴AO=AH+HC+CO．
∴
7y
5
+
4x
5
=8．
∴y=
1
7
(40-4x)．
易知S矩形CDEF=xy=
1
7
(40x-4x2)=-
4
7
[(x-5)2-25]，
∴当x=5时，矩形CDEF面积的最大值为
100
7
．
故答案为：
100
7
．
考点梳理
二次函数的最值；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．
根据设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，用含x和y的代数式分别表示出CO、AH的长，进而表示出矩形CDEF的面积，再配方可求出面积的最大值．
本题考查了二次函数与几何知识（矩形）的综合应用和求二次函数的最值，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
压轴题．
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