试题

题目：
青果学院如图，在由相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠BPC=
10
10
．
答案
10

解：作CH⊥BP于H点，如图，青果学院
设小正方形的边长为1，则AC=2，
在Rt△BCD中，CD=
12+12
=
2
，
在Rt△ABC中，AB=
22+12
=
5
，
∵
1
2
CP·AB=
1
2
BC·AC，
∴CP=
2
5
5
，
在Rt△BPC中，BP=
12-(
2
5
5
)2
=
5
5
，
∵BD∥AC，
∴△BPD∽△APC，
∴
DP
CP
=
BD
AC
=
1
2
，即PC=2PD，
∴PC=
2
3
CD=
2
2
3
，
在Rt△PHC中，PH=
PC2-CH2
=
2
5
15
，
∴tan∠CPB=
CP
PH
=
10
．
故答案为
10
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
作CH⊥BP于H点，设小正方形的边长为1，根据勾股定理可计算出CD=
2
，AB=
5
，再根据三角形面积公式可计算出CP=
2
5
5
，然后再利用勾股定理计算出
BP=
5
5
，由BD∥AC得到△BPD∽△APC，利用相似比得到PC=2PD，所以PC=
2
3
CD=
2
2
3
，接着在Rt△PHC中，根据勾股定理计算出PH=
2
5
15
，最后利用正切的定义求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理和正方形的性质．
压轴题．
找相似题