试题

题目：
青果学院（2013·黄浦区一模）如图，E是正方形ABCD边CD的中点，AE与BD交于点O，则tan∠AOB=
3
3
．
答案
3

青果学院解：连接AC交BD于F，设正方形的边长为2，
∵E是正方形ABCD边CD的中点，
∴则DE=1，
∴AE=
22+12
=
5
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DE∥AB，AC⊥BD于F，
∴△EOD∽△AOB，
∴DE：AB=EO：AO=1：2，
∴AO=
2
5
3
，
∵AC=
22+22
=2
2
，
∴AF=
1
2
×2
2
=
2
，
∴OF=
AO2-AF2
=
2
3
，
∴tan∠AOB=
AF
OF
=
2
2
3
=3，
故答案为：3．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义．
连接AC交BD于F，设正方形的边长为2，则DE=1，由正方形的性质可知：DE∥AB，所以△EOD∽△AOB，根据勾股定理可求出AE和BD的长，由相似三角形的性质可得AO和OE的比值，进而求出AO，根据正方形的对角线互相平分可求出AF，进而求出tan∠AOB的值．
本题考查了正方形的性质、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，题目的综合性很强，难度中等．
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