试题

题目：
青果学院（2013·平遥县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC=4，BC=2．则sin∠ABD=
5
5
5
5
．
答案
5
5

青果学院解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∵AC=4，BC=2，
∴AB=
AC2+BC2
=
42+22
=2
5
，
∵CD⊥AB，
∴
BC
=
BD
，
∴BC=BD，
∵在Rt△ABC与Rt△ABD中，
BD=BC
AB=AB
，
∴△ABC≌△ABD（HL），
∴∠ABC=∠ABD，
∴sin∠ABD=sin∠ABC=
BC
AB
=
2
2
5
=
5
5
．
故答案为：
5
5
．
考点梳理
垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．
连接AD，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理可求出AB的长，由垂径定理可知
BC
=
BD
，故BC=BD，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ABD，故可得出∠ABC=∠ABD，故sin∠ABD=sin∠ABC=
BC
AB
．
本题考查的是垂径定理及圆周角定理，根据题意作出辅助线．构造出直角三角形是解答此题的关键．
探究型．
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