试题

（2010·深圳）如图1所示，以点M（-1，O）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，直线y=-

3

3

x-

5 3

3

与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长；
（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；
（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=-

3

3

x-

5 3

3

中，令y=0，则x=-5，即OE=5；
令x=0，则y=-

5 3

3

，故F点坐标为（0，-

5 3

3

），
∴EF=

(-5)2+(- 5 3 3 )2

=

10 3

3

，
∵M（-1，0），
∴EM=4，
∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，
∴△EMH∽△EFO，
∴

HM

OF

=

EM

EF

，即

r

- 5 3 3

=

4

10 3 3

，
∴r=2；
∵CH是RT△EHM斜边上的中线，
∴CH=

1

2

EM=2．

（2）连接DQ、CQ．
∵∠CHP=∠D，∠CPH=∠QPD，
∴△CHP∽△QDP．
∴CH：DQ=HP：PD=2：3，
∴DQ=3．
∴cos∠QHC=cos∠D=

3

4

．

（3）如图3，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则∠GTA=90°，
∴∠MAN+∠4=90°，
∵∠3=∠4
∴∠MAN+∠3=90°
由于∠BKO+∠3=90°，故∠BKC=∠MAN；
而∠BKC=∠AKC，
∴∠AKC=∠2，
在△AMK和△NMA中，∠AKC=∠MAN；∠AMK=∠NMA，
故△MAK∽△MNA，

MN

AM

=

AM

MK

；
即：MN·MK=AM²=4，
故存在常数a，始终满足MN·MK=a，
常数a=4．
解：（1）∵直线y=-

3

3

x-

5 3

3

中，令y=0，则x=-5，即OE=5；
令x=0，则y=-

5 3

3

，故F点坐标为（0，-

5 3

3

），
∴EF=

(-5)2+(- 5 3 3 )2

=

10 3

3

，
∵M（-1，0），
∴EM=4，
∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，
∴△EMH∽△EFO，
∴

HM

OF

=

EM

EF

，即

r

- 5 3 3

=

4

10 3 3

，
∴r=2；
∵CH是RT△EHM斜边上的中线，
∴CH=

1

2

EM=2．

（2）连接DQ、CQ．
∵∠CHP=∠D，∠CPH=∠QPD，
∴△CHP∽△QDP．
∴CH：DQ=HP：PD=2：3，
∴DQ=3．
∴cos∠QHC=cos∠D=

3

4

．

（3）如图3，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则∠GTA=90°，
∴∠MAN+∠4=90°，
∵∠3=∠4
∴∠MAN+∠3=90°
由于∠BKO+∠3=90°，故∠BKC=∠MAN；
而∠BKC=∠AKC，
∴∠AKC=∠2，
在△AMK和△NMA中，∠AKC=∠MAN；∠AMK=∠NMA，
故△MAK∽△MNA，

MN

AM

=

AM

MK

；
即：MN·MK=AM²=4，
故存在常数a，始终满足MN·MK=a，
常数a=4．