试题

题目：
青果学院（2013·宁德质检）如图，在△ABC中，AB=AC=6，点0为AC的中点，OE⊥AB于点E，OE=
3
2
，以点0为圆心，OA为半径的圆交AB于点F．
（1）求AF的长；
（2）连结FC，求tan∠FCB的值．
答案
解：（1）∵点0为AC的中点，AC=6，
∴OA=3，
∵OE⊥AB，
∴在Rt△AOE中，AE=
OA2-OE2
=
32-(
3
2
)2
=
3
2
3
，
∵OE⊥AF，
∴AF=2AE，
∴AF=2×
3
2
3
=3
3
；

（2）∵AC是⊙O的直径，
∴∠AFC=90°，
∴CF=
AC2-AF2
=3，
又∵AC=AB=6，
∴FB=AB-AE=6-3
3
，
在Rt△CFB中，tan∠FCB=
FB
CF
，
∴tan∠FCB=
6-3
3
3
=2-
3
．
解：（1）∵点0为AC的中点，AC=6，
∴OA=3，
∵OE⊥AB，
∴在Rt△AOE中，AE=
OA2-OE2
=
32-(
3
2
)2
=
3
2
3
，
∵OE⊥AF，
∴AF=2AE，
∴AF=2×
3
2
3
=3
3
；

（2）∵AC是⊙O的直径，
∴∠AFC=90°，
∴CF=
AC2-AF2
=3，
又∵AC=AB=6，
∴FB=AB-AE=6-3
3
，
在Rt△CFB中，tan∠FCB=
FB
CF
，
∴tan∠FCB=
6-3
3
3
=2-
3
．
考点梳理
圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．
（1）由AB=AC=6，点0为AC的中点，OE⊥AB于点E，OE=
3
2
，可求得AE的长，又由勾股定理，即可求得AE的长，然后由垂径定理，求得AF的长；
（2）由AC是直径，可求得∠AFC=90°，继而可求得FB的长，然后由三角函数的定义，求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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