试题

（1999·哈尔滨）已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S_△PBQ=

12

5

时，求PA的长．

解：在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵P、Q两点从点A同时出发，可同时到达点C，
∴

Sp

Sq

=

8

6+10

=

1

2

（1分）
（1）设P点移动的路程为x，Q点移动的路程为2x．
∴CP=8-x，BQ=2x-6，CQ=16-2x．（1分）
作QH⊥AC，垂足为H（如右下图）．
∵∠A=90°，∴QH∥AB，
∴

QH

AB

=

CQ

CB

=

CH

AC

∴QH=

6

5

(8-x)，CH=

8

5

(8-x)
∴PH=CH-CP=

3

5

（8-x），
∴tan∠QPA=

QH

PH

=2．（1分）
∵tan∠QCA=

3

4

，
∴tan∠QPA+tan∠QCA=

11

4

，
tan∠QPA·tan∠QCA=

3

2

，
∴以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程为
y²-

11

4

y+

3

2

=0即4y²-11y+6=0．（1分）

（2）当S_△PBQ=

12

5

时，设PA=x，点Q的位置有两种情况：
①当点Q在AB上时（如图），
则AQ=2x，BQ=6-2x．
S_△PBQ=

1

2

PA·BQ
=

1

2

x(6-2x)
=

12

5

，
∴x2-3x+

12

5

=0，
∵△=9-

48

5

＜0，
∴此方程无实根，故点Q不能在AB上；（2分）
②当点Q在BC边上时（如图），
则QB=2x-6．
作PG⊥BC，垂足为G，
∴△PCG∽△BCA，
∴

PG

BA

=

PC

BC

，
∴PG=

3

5

(8-x)，
∴S_△PBQ=

1

2

QB·PG
=

1

2

·(2x-6)·

3

5

(8-x)
=

12

5

．
∴x²-11x+28=0，
解得：x₁=4，x₂=7．
∴S_△PBQ=

12

5

时，PA=4或7．（2分）
解：在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵P、Q两点从点A同时出发，可同时到达点C，
∴

Sp

Sq

=

8

6+10

=

1

2

（1分）
（1）设P点移动的路程为x，Q点移动的路程为2x．
∴CP=8-x，BQ=2x-6，CQ=16-2x．（1分）
作QH⊥AC，垂足为H（如右下图）．
∵∠A=90°，∴QH∥AB，
∴

QH

AB

=

CQ

CB

=

CH

AC

∴QH=

6

5

(8-x)，CH=

8

5

(8-x)
∴PH=CH-CP=

3

5

（8-x），
∴tan∠QPA=

QH

PH

=2．（1分）
∵tan∠QCA=

3

4

，
∴tan∠QPA+tan∠QCA=

11

4

，
tan∠QPA·tan∠QCA=

3

2

，
∴以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程为
y²-

11

4

y+

3

2

=0即4y²-11y+6=0．（1分）

（2）当S_△PBQ=

12

5

时，设PA=x，点Q的位置有两种情况：
①当点Q在AB上时（如图），
则AQ=2x，BQ=6-2x．
S_△PBQ=

1

2

PA·BQ
=

1

2

x(6-2x)
=

12

5

，
∴x2-3x+

12

5

=0，
∵△=9-

48

5

＜0，
∴此方程无实根，故点Q不能在AB上；（2分）
②当点Q在BC边上时（如图），
则QB=2x-6．
作PG⊥BC，垂足为G，
∴△PCG∽△BCA，
∴

PG

BA

=

PC

BC

，
∴PG=

3

5

(8-x)，
∴S_△PBQ=

1

2

QB·PG
=

1

2

·(2x-6)·

3

5

(8-x)
=

12

5

．
∴x²-11x+28=0，
解得：x₁=4，x₂=7．
∴S_△PBQ=

12

5

时，PA=4或7．（2分）