试题

题目：
青果学院（2011·丰台区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，BD⊥CD，AD=2，BC=6．求sin∠ABC的值．
答案
青果学院解：如图，分别过点A、D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．
∴AE∥DF．
又AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形．
∴EF=AD=2．（2分）
∵BD⊥DC，BD=DC，BC=6，
∴△BDC是等腰直角三角形，（3分）
∴DF=BF=AE=
1
2
BC=3．
∴DF=BF=3，BE=BF-EF=1．（4分）
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB=
AE2+BE2
=
10
，
∴sin∠ABC=
AE
AB
=
3
10
=
3
10
10
．（5分）
青果学院解：如图，分别过点A、D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．
∴AE∥DF．
又AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形．
∴EF=AD=2．（2分）
∵BD⊥DC，BD=DC，BC=6，
∴△BDC是等腰直角三角形，（3分）
∴DF=BF=AE=
1
2
BC=3．
∴DF=BF=3，BE=BF-EF=1．（4分）
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB=
AE2+BE2
=
10
，
∴sin∠ABC=
AE
AB
=
3
10
=
3
10
10
．（5分）
考点梳理
梯形；勾股定理；锐角三角函数的定义．
分别过点A、D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．构造直角三角形和矩形，利用解直角三角形的知识求得所求角的正弦值即可．
本题考查了梯形的性质、勾股定理及锐角三角函数的定义，解题的关键是正确的构造直角三角形．
综合题．
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