试题

（2011·虹口区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点M是AD的中点．点E是边AB上的一动点，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交BC的延长线于点G，连接EG，交边DC于点Q．设AE的长为x，△EMG的面积为y
（1）求∠MEG的正弦值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）线段MG的中点记为点P，连接CP，若△PGC∽△EFQ，求y的值．

解：（1）过点G作GN⊥AD交AD的延长线于点N，可证得△AEM∽△NMG，
∴

MG

EM

=

GN

MA

，
∴GN=AB=4，
∵M是AD的中点，
∴AM=1，
∴

MG

EM

=

GN

MA

=4，
∵GM⊥EF，
∴在Rt△EMG中，
∴tan∠MEG=

MG

EM

=4；
设MG=4x，EM=x，在△EMG中，由勾股定理得：EG=

(4x)2+x2

=

17

x，
∴sin∠MEG=

MG

EG

=

4x

17 x

=

4 17

17

，
即∠MEG的正弦值是

4 17

17

；

（2）由（1）知，

MG

EM

=4，即MG=4EM，
∵在Rt△AEM中，EM=

x2+1

，
∴MG=4

x2+1

，
∵S_△EMG=

1

2

EM·MG，
∴y=2x²+2 （

1

4

＜x≤4）；

（3）分别过点P、M作PH、MI垂直BG于点H，I，
∴BE=4-x，IG=4x，
∴BG=4x+1，CF=x+4，CG=4x-1，CH=2x-1，
∴EF=PG，∠F=∠PGC，
∵△PGC∽△EFQ，
∴∠QEF=∠CPG，
则可证：△CPG≌△QEF，
∴QF=CG=4x-1，
∴CQ=CF-QF=5-3x，
可证BE∥CQ，
∴

CG

BG

=

CQ

BE

，即CG·BE=CQ·BG，
∴（4x-1）（4-x）=（5-3x）（4x+1），
解得：x₁=

3

4

2

，x₂=-

3

4

2

（舍去），
∴y=

17

4

；
∴可知y的值是

17

4

．
解：（1）过点G作GN⊥AD交AD的延长线于点N，可证得△AEM∽△NMG，
∴

MG

EM

=

GN

MA

，
∴GN=AB=4，
∵M是AD的中点，
∴AM=1，
∴

MG

EM

=

GN

MA

=4，
∵GM⊥EF，
∴在Rt△EMG中，
∴tan∠MEG=

MG

EM

=4；
设MG=4x，EM=x，在△EMG中，由勾股定理得：EG=

(4x)2+x2

=

17

x，
∴sin∠MEG=

MG

EG

=

4x

17 x

=

4 17

17

，
即∠MEG的正弦值是

4 17

17

；

（2）由（1）知，

MG

EM

=4，即MG=4EM，
∵在Rt△AEM中，EM=

x2+1

，
∴MG=4

x2+1

，
∵S_△EMG=

1

2

EM·MG，
∴y=2x²+2 （

1

4

＜x≤4）；

（3）分别过点P、M作PH、MI垂直BG于点H，I，
∴BE=4-x，IG=4x，
∴BG=4x+1，CF=x+4，CG=4x-1，CH=2x-1，
∴EF=PG，∠F=∠PGC，
∵△PGC∽△EFQ，
∴∠QEF=∠CPG，
则可证：△CPG≌△QEF，
∴QF=CG=4x-1，
∴CQ=CF-QF=5-3x，
可证BE∥CQ，
∴

CG

BG

=

CQ

BE

，即CG·BE=CQ·BG，
∴（4x-1）（4-x）=（5-3x）（4x+1），
解得：x₁=

3

4

2

，x₂=-

3

4

2

（舍去），
∴y=

17

4

；
∴可知y的值是

17

4

．