试题

题目：
青果学院（2012·泉州质检）如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB交BC于E，M、N分别是AC、BC上的点，且DN⊥DM．
（1）求证：△DNE∽△MDA；
（2）若AC=6，BC=8，求tan∠DMN的值．
答案
解：（1）∵DE⊥AB，DN⊥DM，
∴∠EDN+∠EDM=∠EDM+∠ADM=90°，
∴∠EDN=∠ADM，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠NED+∠DEC=∠A+∠DEC=180°，
∴∠NED=∠A，
∴△DNE∽△MDA   …（5分）

（2）∵△DNE∽△MDA，
∴
ND
DM
=
DE
AD
，
∵D是AB的中点，
∴
ND
DM
=
DE
BD
，
又∵∠B=∠B，
∴Rt△BDE∽Rt△BCA，
∴
DE
BD
=
CA
CB
，
∴
ND
DM
=
CA
CB
，
在Rt△MDN中，tan∠DMN=
ND
DM
=
CA
CB
=
6
8
=
3
4
．…（9分）
解：（1）∵DE⊥AB，DN⊥DM，
∴∠EDN+∠EDM=∠EDM+∠ADM=90°，
∴∠EDN=∠ADM，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠NED+∠DEC=∠A+∠DEC=180°，
∴∠NED=∠A，
∴△DNE∽△MDA   …（5分）

（2）∵△DNE∽△MDA，
∴
ND
DM
=
DE
AD
，
∵D是AB的中点，
∴
ND
DM
=
DE
BD
，
又∵∠B=∠B，
∴Rt△BDE∽Rt△BCA，
∴
DE
BD
=
CA
CB
，
∴
ND
DM
=
CA
CB
，
在Rt△MDN中，tan∠DMN=
ND
DM
=
CA
CB
=
6
8
=
3
4
．…（9分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
（1）由DE⊥AB，DN⊥DM，根据同角的余角相等，即可得∠EDN=∠ADM，又由DE⊥AB，∠C=90°，根据同角的补角相等，即可得∠NED=∠A，根据由两角对应相等的三角形相似，即可证得△DNE∽△MDA；
（2）由△DNE∽△MDA，D是AB的中点，根据相似三角形的对应边成比例，易得
ND
DM
=
DE
BD
，即可证得Rt△BDE∽Rt△BCA，由AC=6，BC=8，即可求得tan∠DMN的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及余角补角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
找相似题