试题

（2013·黄浦区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC上一点，且∠CAD=∠B．
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠BAD的值．

解：（1）∵∠C=∠C=90°，∠CAD=∠B，
∴△CAD∽△CBA，
∴

CD

AC

=

AC

BC

，
∵AC=4，BC=6，
∴

CD

4

=

4

6

，
∴CD=

8

3

，

（2）过D作DE⊥AB，
∵AC=4，CD=

8

3

，
∴AD=

AC2+CD2

=

4 13

3

，
∵S_△ACD=

1

2

·AC·CD=

1

2

×4×

8

3

=

16

3

，S_△ACB=

1

2

×AC·BC=12，
∴S_△ADB=12-

16

3

=

20

3

，
∵AB=

AC2+BC2

=

52

=2

13

，
∴

20

3

=

1

2

×DE×AB，
∴DE=

40

6 13

=

20 13

39

，
∴sin∠BAD=

DE

AD

=

20 13 39

4 13 3

=

5

13

．
解：（1）∵∠C=∠C=90°，∠CAD=∠B，
∴△CAD∽△CBA，
∴

CD

AC

=

AC

BC

，
∵AC=4，BC=6，
∴

CD

4

=

4

6

，
∴CD=

8

3

，

（2）过D作DE⊥AB，
∵AC=4，CD=

8

3

，
∴AD=

AC2+CD2

=

4 13

3

，
∵S_△ACD=

1

2

·AC·CD=

1

2

×4×

8

3

=

16

3

，S_△ACB=

1

2

×AC·BC=12，
∴S_△ADB=12-

16

3

=

20

3

，
∵AB=

AC2+BC2

=

52

=2

13

，
∴

20

3

=

1

2

×DE×AB，
∴DE=

40

6 13

=

20 13

39

，
∴sin∠BAD=

DE

AD

=

20 13 39

4 13 3

=

5

13

．