试题

如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，点F在边CB的延长线上，且BE=BF，连接EF．
（1）若取AE的中点P，求证：BP=

1

2

CF；
（2）在图①中，若将△BEF绕点B顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图②，是否存在某位置，使得AE∥BF？，若存在，求出所有可能的旋转角α的大小；若不存在，请说明理由；
（3）在图①中，若将△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图③，取AE的中点P，连接BP、CF，求证：BP=

1

2

CF且BP⊥CF．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，
∵E为AB中点，P为AE中点，
∴2BE=2AE=AB，2PE=AE，
∵BE=BF，
∴CF=BC+BF=3BE，BP=BE+

1

2

BE=

3

2

BE，
∴BP=

1

2

CF．

（2）解：存在，
∵AE∥BF，
∵EB⊥BF，
∴EB⊥AE，
∴α=∠ABE，
∵cosα=

BE

AB

=

1

2

，
∴α=60°或300°．
存在，使得AE∥BF，当α=60°或300°时，AE∥BF．


（3）证明：延长BP到G，使BP=PG，连接AG、EG，延长PB交CF于H，
∵AP=EP，BP=PG，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG=BE=BF，AG∥BE，
∴∠GAB+∠ABE=180°，
∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠CBF+∠ABE=360°-180°=180°，
∴∠CBF=∠BAG，
在△AGB和△BCF中

AG=BF ∠GAB=∠FBC AB=BC

，
∴△AGB≌△BCF，
∴CF=BG=2BP，∠ABG=∠BCF，
∴∠ABG+∠CBH=180°-90°=90°，
∴∠BCF+∠CBH=90°，
∴∠CHB=180°-90°=90°，
∴BP⊥CF，BP=

1

2

CF．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，
∵E为AB中点，P为AE中点，
∴2BE=2AE=AB，2PE=AE，
∵BE=BF，
∴CF=BC+BF=3BE，BP=BE+

1

2

BE=

3

2

BE，
∴BP=

1

2

CF．

（2）解：存在，
∵AE∥BF，
∵EB⊥BF，
∴EB⊥AE，
∴α=∠ABE，
∵cosα=

BE

AB

=

1

2

，
∴α=60°或300°．
存在，使得AE∥BF，当α=60°或300°时，AE∥BF．


（3）证明：延长BP到G，使BP=PG，连接AG、EG，延长PB交CF于H，
∵AP=EP，BP=PG，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG=BE=BF，AG∥BE，
∴∠GAB+∠ABE=180°，
∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠CBF+∠ABE=360°-180°=180°，
∴∠CBF=∠BAG，
在△AGB和△BCF中

AG=BF ∠GAB=∠FBC AB=BC

，
∴△AGB≌△BCF，
∴CF=BG=2BP，∠ABG=∠BCF，
∴∠ABG+∠CBH=180°-90°=90°，
∴∠BCF+∠CBH=90°，
∴∠CHB=180°-90°=90°，
∴BP⊥CF，BP=

1

2

CF．