试题

如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，且CE=2BE．连接BD、DE、AE，且AE交BD于F，OG为△BDE的中位线．下列结论：①OG⊥CD；②AB=5OG；③

S△ODG

S△ABE

=

1

3

；④BF=OF；⑤cos∠BFE=

5

5

，其中正确结论的个数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5

B
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
即BC⊥CD，
∵OG为△BDE的中位线，
∴OG∥BC，
∴OG⊥CD；
故正确；
②∵OG为△BDE的中位线，
∴BE=2OG，
∵CE=2BE，
∴CE=40G，
∴BC=BE+CE=6OG，
故错误；
③∵OG∥BC，BE=2OG，
∴△ODG∽△BDE，
∴

S△ODG

S△BDE

=

1

4

，
∵S_△ABE=S_△BDE，
∴

S△ODG

S△ABE

=

1

4

；
故错误；
④∵CE=2BE，
∴BE：BC=BE：AD=1：3，
∵BC∥AD，
∴BF：DF=BE：AD=1：3，
∴BF=

1

4

BD，
∵OB=OD=

1

2

BD，
∴BF=OF=

1

4

BD；
故正确；
⑤过点B作BH⊥AE，
∵∠AHB=∠ABE=90°，∠BAH=∠EAB，
∴△BAH∽△EAB，
∴AH：AB=BH：BE，
∴AH：BH=AB：BE=3，
∵设BH=x，则AH=3x，
在Rt△ABH中，AB=

AH2+BH2

=

10

x，
∴BD=

2

AB=2

5

x，
∴BF=

1

4

BD=

5

2

x，
在Rt△BFH中，FH=

BF2-BH2

=

1

2

x，
∴cos∠BFE=

FH

BF

=

5

5

．
故正确．
故选B．