试题

题目：
求证：sin18°=
5
-1
4
．
答案
青果学院证明：如图，△ABC是黄金三角形，则∠BAC=36°，AB=AC，BC：AB=
5
-1
2
．
作∠BAC的角平分线AD，则AD⊥BC，BD=DC=
1
2
BC．
在直角△ABD中，∠ADB=90°，
则sin18°=sin∠BAD=
BD
AB
=
1
2
BC
AB
=
1
2
×
5
-1
2
=
5
-1
4
．
即sin18°=
5
-1
4
．
青果学院证明：如图，△ABC是黄金三角形，则∠BAC=36°，AB=AC，BC：AB=
5
-1
2
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作∠BAC的角平分线AD，则AD⊥BC，BD=DC=
1
2
BC．
在直角△ABD中，∠ADB=90°，
则sin18°=sin∠BAD=
BD
AB
=
1
2
BC
AB
=
1
2
×
5
-1
2
=
5
-1
4
．
即sin18°=
5
-1
4
．
考点梳理
黄金分割；锐角三角函数的定义．
由于黄金三角形的顶角为36°，其底与一腰之长之比为黄金比，所以作出黄金三角形顶角的角平分线，即可证明sin18°=
5
-1
4
．
本题考查了黄金分割的定义及性质，等腰三角形的性质，锐角三角形的定义，难度中等，能够考虑到运用黄金三角形进行证明是解题的关键．
证明题．
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