试题

如图，二次函数y=ax²+bx（a＞0）的图象与反比例函数y=

k

x

图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
①求实数k的值；
②求二次函数y=ax²+bx（a＞0）的解析式；
③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式；
④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由．

解：①把A（1，4）代入得：k=xy=4，
答：实数k的值是4．

②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，
设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，
则：S=S_△ABQ-S_△AOH-S_△BNO-S_矩形ONQH，
即：3=

1

2

（1+c）（4+d）-

1

2

×1×4-

1

2

cd-d×1，
cd=k=4，
解得：c=2，d=2，
∴B（-2，-2），
把A（1，4）和B（-2，-2）代入抛物线得：

-2=4a-2b 4=a+b

，
解得：

a=1 b=3

，
∴y=x²+3x，
答：二次函数y=ax²+bx（a＞0）的解析式是y=x²+3x．
⑨把y=0代入y=x²+3x得：x²+3x=0，
解得：x₁=0，x₂=-3，
∴D（-3，0），
即OD=3，
∵B（-2，-2），
∴由勾股定理得：OB=2

2

，
∵EF∥OB，
∴△DFE∽△DBO，
∴

EF

OB

=

DE

DO

，
∴

EF

2 2

=

3-m

3

，
∴EF=2

2

-

2 2

3

m，
过F作FC⊥x轴于C，
根据相似三角形的对应高之比等于相似比得：

FC

BM

=

DE

DO

，
∴

FC

2

=

3-m

3

，
FC=

6-2m

3

S=S_△EDB-S_△EDF
=

1

2

DE×BM-

1

2

FC×DE，
即S=-

1

3

m²+m，
∴S与m的函数关系S=-

1

3

m²+m．

④S=-

1

3

m²+m．
当m=

3

2

时，S最大，是

3

4

，
∴E(-

3

2

，0)，
答：在③的基础上，S存在最大值，S的最大值是

3

4

，此时E点的坐标是（-

3

2

，0）．
解：①把A（1，4）代入得：k=xy=4，
答：实数k的值是4．

②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，
设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，
则：S=S_△ABQ-S_△AOH-S_△BNO-S_矩形ONQH，
即：3=

1

2

（1+c）（4+d）-

1

2

×1×4-

1

2

cd-d×1，
cd=k=4，
解得：c=2，d=2，
∴B（-2，-2），
把A（1，4）和B（-2，-2）代入抛物线得：

-2=4a-2b 4=a+b

，
解得：

a=1 b=3

，
∴y=x²+3x，
答：二次函数y=ax²+bx（a＞0）的解析式是y=x²+3x．
⑨把y=0代入y=x²+3x得：x²+3x=0，
解得：x₁=0，x₂=-3，
∴D（-3，0），
即OD=3，
∵B（-2，-2），
∴由勾股定理得：OB=2

2

，
∵EF∥OB，
∴△DFE∽△DBO，
∴

EF

OB

=

DE

DO

，
∴

EF

2 2

=

3-m

3

，
∴EF=2

2

-

2 2

3

m，
过F作FC⊥x轴于C，
根据相似三角形的对应高之比等于相似比得：

FC

BM

=

DE

DO

，
∴

FC

2

=

3-m

3

，
FC=

6-2m

3

S=S_△EDB-S_△EDF
=

1

2

DE×BM-

1

2

FC×DE，
即S=-

1

3

m²+m，
∴S与m的函数关系S=-

1

3

m²+m．

④S=-

1

3

m²+m．
当m=

3

2

时，S最大，是

3

4

，
∴E(-

3

2

，0)，
答：在③的基础上，S存在最大值，S的最大值是

3

4

，此时E点的坐标是（-

3

2

，0）．