试题

题目：
青果学院如图，已知AB=AC，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，BD平分∠ABC．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求
AD
AC
的值；
（3）求cosA的值．
答案
解：（1）证明：∵AB的中垂线MN交AC于点D青果学院
∴AD=BD
∴∠A=∠ABD
∵BD平分∠ABC
∴∠A=∠ABD=∠DBC，
又∵∠C是公共角
∴△ABC∽△BDC；

（2）根据（1）可得：AD=BD=BC
设AC=1，AD=x
∵△ABC∽△BCD
则
1
x
=
x
1-x
，
解得x=
-1+
5
2
或x=
-1-
5
2
（不合题意，舍去）
∴x=
-1+
5
2
，
∴
AD
AC
=
5
-1
2
；

（3）在Rt△AMD中，DM⊥AB
∴cosA=
AM
AD
=
1
2
x
=
5
+1
4
．
解：（1）证明：∵AB的中垂线MN交AC于点D青果学院
∴AD=BD
∴∠A=∠ABD
∵BD平分∠ABC
∴∠A=∠ABD=∠DBC，
又∵∠C是公共角
∴△ABC∽△BDC；

（2）根据（1）可得：AD=BD=BC
设AC=1，AD=x
∵△ABC∽△BCD
则
1
x
=
x
1-x
，
解得x=
-1+
5
2
或x=
-1-
5
2
（不合题意，舍去）
∴x=
-1+
5
2
，
∴
AD
AC
=
5
-1
2
；

（3）在Rt△AMD中，DM⊥AB
∴cosA=
AM
AD
=
1
2
x
=
5
+1
4
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义．
（1）首先根据中垂线的性质得到AD=BD，接着得到∠A=∠ABD，而BD平分∠ABC，由此得到∠A=∠ABD=∠DBC，又∠C是公共角，然后利用相似三角形的判定定理即可证明△ABC∽△BCD；
（2）根据（1）可得AD=BD=BC，设AC=1，AD=x，然后利用相似三角形的性质得到
1
x
=
x
1-x
，解方程求得x=
-1+
5
2
，然后就可以求出
AD
AC
=
5
-1
2
；
（3）在Rt△AMD中，DM⊥AB，根据三角函数的定义即可解决问题．
此题分别考查了相似三角形的性质与判定、垂直平分线的性质及三角函数的定义，综合性比较强，解题首先根据垂直平分线的性质构造相似三角形的条件，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．
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