试题

题目：
已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．
（1）如图1，当OA=OB，且
AD
AO
=
1
2
时，求
AP
PC
的值；
（2）如图2，当OA=OB，且
AD
AO
=
1
4
时，①
AP
PC
=
2
3
2
3
；②证明：∠BPC=∠A；
（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：2
n
时，直接写出tan∠BPC的值．
青果学院
答案
2
3

青果学院解：（1）过C作CE∥BD交AO于点E，如图，
∵点C为OB中点，
∴CE为△OBD的中位线，
∴DE=OE，
∵PD∥CE，
∴
AP
PC
=
AD
DE
，
又∵
AD
AO
=
1
2
，
∴AD=DO，
∴AD=2DE，
∴
AP
PC
=2；
（2）①过C作CE∥BD交AO于点E，如图，
∵点C为OB中点，
∴CE为△OBD的中位线，
∴DE=OE，
∵PD∥CE，
∴
AP
PC
=
AD
DE
，
又∵
AD
AO
=
1
4
，
∴DO=3AD，
∴2DE=3AD，
∴AD=
2
3
DE，
∴
AP
PC
=
2
3
；
②设OB=8a，
∴OA=OB=8a，OC=4a，
AD=2a，DE=OE=3a，
而OA⊥OB，
∴∠COE=90°，
在Rt△OCE中，OC=4a，OE=3a，则CE=
(4a)2+(3a)2
=5a，
∴EC=EA，
∴∠ACE=∠A，
而CE∥BD，
∴∠BPC=∠ACE，
∴∠BPC=∠A；
故答案为
2
3
；
（3）过D作DF⊥AC，垂足为F，过C作CE∥BD交AO于点E，如图，
设AD=a，则AO=na，OB=2a
n
，
∵点C为OB中点，
∴CO=a
n
，
在Rt△ACO中，AC=
AO2+CO2
=
n2+n
a，
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，
∴AF：AO=DF：OC=AD：AC，即AF：na=DF：
n
a=a：
n2+n
a，
∴AF=
n
n+1
a，DF=
a
n+1
，
又∵PD∥CE，
∴AP：AC=AD：AE，即AP：
n2+n
a=a：
n+1
2
a，
∴AP=
2 a
n
n+1
，
∴PF=AP-AF=
n
n+1
a，
∴tan∠FPD=
FD
PF
=
1
n
=
n
n
．
∴tan∠BPC=
n
n
．
考点梳理
平行线分线段成比例；勾股定理；三角形中位线定理；锐角三角函数的定义．
（1）过C作CE∥BD交AO于点E，则CE为△OBD的中位线，得到DE=OE，由PD∥CE，根据平行线分线段成比例定理得
AP
PC
=
AD
DE
，又
AD
AO
=
1
2
得AD=DO，则有AD=2DE，即可得到
AP
PC
=2；
（2）①与（1）不同的是
AD
AO
=
1
4
则DO=3AD，得2DE=3AD即AD=
2
3
DE，则
AP
PC
=
2
3
；②设OB=8a，则OA=OB=8a，OC=4a，AD=2a，DE=OE=3a，根据勾股定理得到CE=
(4a)2+(3a)2
=5a，则有EC=EA，得到∠ACE=∠A，而∠BPC=∠ACE，即可得到结论；
（3）过D作DF⊥AC，垂足为F，过C作CE∥BD交AO于点E，设AD=a，则AO=na，OB=2a
n
，由点C为OB中点，则CO=a
n
，利用勾股定理可计算得AC=
n2+n
a，易证得Rt△ADF∽Rt△ACO，得到AF：AO=DF：OC=AD：AC，即AF：na=DF：
n
a=a：
n2+n
a，求出AF=
n
n+1
a，DF=
a
n+1
，再根据平行线分线段成比例定理得到AP：AC=AD：AE，即AP：
n2+n
a=a：
n+1
2
a，求出AP=
2 a
n
n+1
，则PF=AP-AF=
n
n+1
a，然后根据正切的定义即可得到tan∠FPD，从而得到tan∠BPC的值．
本题考查了平行线分线段成比例定理：如果一组平行线被两条直线所截，那么所截得的线段对应成比例．也考查了三角形中位线的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义．
几何综合题．
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