试题

题目：
青果学院如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=90°，AB=BD，在BC上截取BE，使BE=BA，过点B作BF⊥BC于B，交AD于点F．连接AE，交BD于点G，交BF于点H．
（1）已知AD=4
2
，CD=2，求sin∠BCD的值；
（2）求证：BH+CD=BC．
答案
（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=BD，AD=4
2
，
则AB=BD=4，…（1分）
在Rt△CBD中，∠BDC=90°，CD=2，BD=4，
所以BC=
22+42
=2
5
，…（2分）
sin∠BCD=
BD
BC
=
4
2
5
=
2
5
5
．…（4分）
（2）证明：过点A作AB的垂线交BF的延长线于M．
青果学院
∵∠DBA=90°，∴∠1+∠3=90°．
∵BF⊥CB于B，∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠1．…（5分）
∵BA=BD，∠BAM=∠BDC=90°，
∴△BAM≌△BDC．
∴BM=BC，AM=CD．…（7分）
∵EB=AB，∴∠7=∠5．
BH=BG．…（8分）
∴∠4=∠1+∠5=∠2+∠7=∠6．
∵∠8=∠4，∠MAH=∠6，
∴∠8=∠MAH，∴AM=MH=CD．…（9分）
∴BC=BM=BH+HM=BH+CD．      …（10分）
其他解法，参照给分．
（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=BD，AD=4
2
，
则AB=BD=4，…（1分）
在Rt△CBD中，∠BDC=90°，CD=2，BD=4，
所以BC=
22+42
=2
5
，…（2分）
sin∠BCD=
BD
BC
=
4
2
5
=
2
5
5
．…（4分）
（2）证明：过点A作AB的垂线交BF的延长线于M．
青果学院
∵∠DBA=90°，∴∠1+∠3=90°．
∵BF⊥CB于B，∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠1．…（5分）
∵BA=BD，∠BAM=∠BDC=90°，
∴△BAM≌△BDC．
∴BM=BC，AM=CD．…（7分）
∵EB=AB，∴∠7=∠5．
BH=BG．…（8分）
∴∠4=∠1+∠5=∠2+∠7=∠6．
∵∠8=∠4，∠MAH=∠6，
∴∠8=∠MAH，∴AM=MH=CD．…（9分）
∴BC=BM=BH+HM=BH+CD．      …（10分）
其他解法，参照给分．
考点梳理
梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．
（1）在直角三角形BCD中利用锐角三角函数的定义求解即可；
（2）过点A作AB的垂线交BF的延长线于M，利用全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质求解即可．
本题考查梯形、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的知识，是一道小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握和灵活运用．
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