试题

题目：
青果学院如图，AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：∠BAE=∠CAD
（2）若sin∠CAD=
3
5
，AB=6，求⊙O的半径r．
答案
青果学院（1）证明：连接BE，∴∠C=∠E，
∵AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
即∠BAE+∠E=90°，
∵AD是△ABC中BC边上的高，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAE=∠CAD；

（2）解：∵sin∠CAD=
3
5
，
∴sin∠BAE=
BE
AE
=
3
5
，
∵AB2+BE2=AE2，AB=6，
∴36+（
3
5
AE）2=AE2．
解得AE=
15
2
，
∴r=
15
4
．
青果学院（1）证明：连接BE，∴∠C=∠E，
∵AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
即∠BAE+∠E=90°，
∵AD是△ABC中BC边上的高，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAE=∠CAD；

（2）解：∵sin∠CAD=
3
5
，
∴sin∠BAE=
BE
AE
=
3
5
，
∵AB2+BE2=AE2，AB=6，
∴36+（
3
5
AE）2=AE2．
解得AE=
15
2
，
∴r=
15
4
．
考点梳理
圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
（1）连接BE，则∠C=∠E，由AE是△ABC的外接圆⊙O的直径得∠BAE+∠E=90°，从而得出∠BAE=∠CAD；
（2）由sin∠CAD=
3
5
，则sin∠BAE=
3
5
，再由AB=6，得出答案即可．
本题考查了圆周角定理、三角形的外接圆、锐角三角函数的定义以及相似三角形的判定和性质．
几何综合题．
找相似题