试题

题目：
如图，矩形ABCD中，CH⊥BD，垂足为H，P点是AD上的一个动点（P与A、D不重合），CP与BD青果学院交于E点．已知CH=
60
13
，DH：CD=5：13，设AP=x，四边形ABEP的面积为y．
（1）求BD的长；
（2）用含x的代数式表示y．
答案
解：（1）在Rt△CHD中，cos∠CDB=
DH
DC
=
5
13
，
设DH=5k，DC=13k则CH=
DC2-DH2
=
(13k)2-(5k)2
=12k=
60
13
，即：k=
5
13
，
∴DH=
25
13
，DC=5，
在Rt△BCD中，BD=
DC
cos∠CDB
=5×
13
5
=13，
∴BD的长为13．

（2）如图，过点E分别作BC和PD的高，交BC于M，交PD于N．
∵PD∥BC，青果学院
∴△BCE∽△PDE．
∴
PD
BC
=
EN
EM
，
∵BD=13，CD=5，根据勾股定理得：BC=12；
PD=AD-x=12-x，MN=AB=5，
∴
PD
BC
=
EN
EM
，即
12-x
12
=
EN
5-EN
，
60-5x-（12-x）EN=12EN，
∴EN=
60-5x
24-x
，
∴△PDE的面积为：
1
2
×(12-x)×
60-5x
24-x
=
5(12-x)2
2(24-x)
；
△ABD的面积为：
1
2
×12×5=30；
四边形ABEP的面积为：y=30-
5(12-x)2
2(24-x)
；
解：（1）在Rt△CHD中，cos∠CDB=
DH
DC
=
5
13
，
设DH=5k，DC=13k则CH=
DC2-DH2
=
(13k)2-(5k)2
=12k=
60
13
，即：k=
5
13
，
∴DH=
25
13
，DC=5，
在Rt△BCD中，BD=
DC
cos∠CDB
=5×
13
5
=13，
∴BD的长为13．

（2）如图，过点E分别作BC和PD的高，交BC于M，交PD于N．
∵PD∥BC，青果学院
∴△BCE∽△PDE．
∴
PD
BC
=
EN
EM
，
∵BD=13，CD=5，根据勾股定理得：BC=12；
PD=AD-x=12-x，MN=AB=5，
∴
PD
BC
=
EN
EM
，即
12-x
12
=
EN
5-EN
，
60-5x-（12-x）EN=12EN，
∴EN=
60-5x
24-x
，
∴△PDE的面积为：
1
2
×(12-x)×
60-5x
24-x
=
5(12-x)2
2(24-x)
；
△ABD的面积为：
1
2
×12×5=30；
四边形ABEP的面积为：y=30-
5(12-x)2
2(24-x)
；
考点梳理
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
（1）设DH=5k，则CD=13k，从而可以用k表示CH，CH长度已知，从而可求出Rt△CDH各边的长度．Rt△CDH∽Rt△BCD，根据各边长的比即可求出BD的长度．
（2）△PDE∽△BEC，BC比上PD等于BC边上的高比上PD边上的高．PD的长度等于BC长度减去x，从而可以用x表示PD上的高，进而可以用x表示三角形PED的面积，四边形ABEP的面积等于三角形ABD的面积减去三角形PED的面积．
本题考查相似三角形的性质和勾股定理的应用．第一问利用勾股定理和即可求出BC的长度．从而也可以得出BC和CD的长度．第二问中主要用到相似三角形的性质，三角形对应边的比等于对应边上高的比，用含x的表达式表示三角形PED的面积，四边形ABEP的面积等于三角形ABD的面积减去三角形PED的面积．
综合题．
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