试题

题目：
如图，边长为a的正方形ABCD沿直线l向右滚动．
青果学院
（1）当正方形滚动一周时，正方形中心O经过的路程为
2
aπ
2
aπ
，此时点A经过的路程为
(1+
2
2
)πa
(1+
2
2
)πa
；
（2）当点A经过的路程为(10+5
2
)aπ时，中心O与初始位置的距离为
40a
40a
；
（3）将正方形在滚动中转了180°时点A的位置记为A1，正方形转了360°时点B的位置记为B1，请你猜想∠AA1B1的大小，并请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanα·tanβ
来验证你的猜想．
答案
2
aπ

(1+
2
2
)πa

40a

解：（1）根据勾股定理可得：AC=
2
a，即OC=
2
2
a，
正方形中心O经过的路程=
90π×
2
2
a×4
180
=
2
aπ，
点A经过的路程=
90π×
2
a
180
+
90π×a×2
180
=(1+
2
2
)πa．（6分）
青果学院

（2）当点A经过的路程为(10+5
2
)aπ时，即正方形滚动了10周，
正方形滚动一周的距离是4a，10周即是40a．（10分）

（3）135°；
验证：设∠AA1D=α，∠B1A1E=β，则tanα=
1
3
，tanβ=
1
2
；
tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanα·tanβ
=
1
3
+
1
2
1-
1
3
×
1
2
=
5
6
5
6
=1，
即α+β=45°，故∠AA1B1=180°-（α+β）=135°．（14分）
考点梳理
弧长的计算；正方形的性质；锐角三角函数的定义．
（1）要计算正方形滚动一周时，正方形中心O和顶点A所走的路程，就必须弄清它们的运动过程：
中心O：当正方形滚动一周时，中心O所经过的路程为4段弧，且都是以90°为圆心角、对角线的一半为半径，因此中心O实际经过的路程是一个圆，且半径为对角线的一半，由此得解；
点A：当正方形滚动一周时，点A也经过了4段弧，可分作两部分：
一、以90°为圆心角、对角线长为半径的两段弧，二、以90°为圆心角、边长长为半径的两段弧；
可根据弧长计算公式进行求解即可．
（2）根据（1）题的解题思路可知：当点A经过的路程为(10+5
2
)aπ时，正方形滚动了10周，依此计算出中心O与初始位置的距离即可．
（3）很明显∠AA1B1是个钝角，要想套用题干给出的正切的两角和公式，就必须从∠AA1B1的两个补角入手，可设∠AA1D=α、∠B1A1E=β，易求得两角的正切值，代入公式中，即可求出tan（α+β）的值，进而可得到∠AA1D+∠B1A1E的度数，根据补角的定义，即可求得∠AA1B1的度数．
本题主要是考查了弧长的计算方法以及锐角三角函数的定义，能够发现正方形滚动过程中，中心和顶点的移动轨迹是解答此题的关键．
探究型．
找相似题