试题

△ABC中，AD是高，AD与AB的夹角为锐角α，Rt△ADC的面积和周长都为30，又x₁、x₂是关于x的方程8x²-4x-2cosα+1=0的两个实数根，且32(x13x22+x12x23)=

9

100

，求：
（1）cosa的值．
（2）AD和AC的长（“三角函数的值”的有关“代数式”作为方程的系数）

解：（1）因为方程有两个实数根，所以判别式为非负数．
△=16-4×8（-2cosα+1）≥0，
得到：cosα≥

1

4

．
∵0＜cosα＜1，
∴

1

4

≤cosα＜1．
根据根与系数的关系有：
x₁+x₂=

1

2

，x₁x₂=

-2cosα+1

8

32（x₁³x₂²+x₁²x₂³）=

9

100

32（x₁x₂）²（x₁+x₂）=

9

100

32×

(-2cosα+1)2

64

×

1

2

=

9

100

整理得：-2cosα+1=±

3

5

∴cosα=

4

5

，cosα=-

1

5

（舍去）；

（2）根据直角三角形的周长和面积都是30以及勾股定理，得到：
AD+DC=30-AC  ①
AD·DC=60     ②
AD²+DC²=AC²=（AD+DC）²-2AD·DC
∴AC²=（30-AC）²-120
解得：AC=13．
∴有①②有：
AD+DC=17
AD·DC=60
解得：AD=5，DC=12，或AD=12，DC=5
故AC的长为13，AD的长为5或12．
解：（1）因为方程有两个实数根，所以判别式为非负数．
△=16-4×8（-2cosα+1）≥0，
得到：cosα≥

1

4

．
∵0＜cosα＜1，
∴

1

4

≤cosα＜1．
根据根与系数的关系有：
x₁+x₂=

1

2

，x₁x₂=

-2cosα+1

8

32（x₁³x₂²+x₁²x₂³）=

9

100

32（x₁x₂）²（x₁+x₂）=

9

100

32×

(-2cosα+1)2

64

×

1

2

=

9

100

整理得：-2cosα+1=±

3

5

∴cosα=

4

5

，cosα=-

1

5

（舍去）；

（2）根据直角三角形的周长和面积都是30以及勾股定理，得到：
AD+DC=30-AC  ①
AD·DC=60     ②
AD²+DC²=AC²=（AD+DC）²-2AD·DC
∴AC²=（30-AC）²-120
解得：AC=13．
∴有①②有：
AD+DC=17
AD·DC=60
解得：AD=5，DC=12，或AD=12，DC=5
故AC的长为13，AD的长为5或12．