试题

题目：
青果学院如图，已知AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，求AC的长．
答案
青果学院解：过点C作CE∥AB，交BD于E，如右图所示，
设AC=x，
∵∠ABC=90，AB=1，AC=x，
∴BC=
x2-1
，
∴CE=BC·tan30°=
3
3
×
x2-1
，
∵CE∥AB，
∴△DCE∽△DAB，
∴DC：AD=CE：AB，
∴（1+x）×
3
3
×
x2-1
=1，
化简得（x+2）（x3-2）=0，
解关于x的方程得
x=
32
（负数舍去），
∴AC=
32
．
青果学院解：过点C作CE∥AB，交BD于E，如右图所示，
设AC=x，
∵∠ABC=90，AB=1，AC=x，
∴BC=
x2-1
，
∴CE=BC·tan30°=
3
3
×
x2-1
，
∵CE∥AB，
∴△DCE∽△DAB，
∴DC：AD=CE：AB，
∴（1+x）×
3
3
×
x2-1
=1，
化简得（x+2）（x3-2）=0，
解关于x的方程得
x=
32
（负数舍去），
∴AC=
32
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
先过C作CE∥AB，交BD于E，并设AC=x，在△ABC中，利用勾股定理易求BC，在△BCE中特殊三角函数值，可求CE，而CE∥AB，可证△DCE∽△DAB，利用比例线段，可得关于x的无理方程，解即可．
本题考查了勾股定理、特殊三角函数值、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、解无理方程．
计算题．
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