试题

已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，AD=2AC，DC=2BC．
（1）求证：△ACD为直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．

（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=4（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．…（1分）
在Rt△ABC中，∵∠B=90°
∴BC²+AB²=AC²（勾股定理）…（1分）
得 BC=

AC2-AB2

=2

3

．…（1分）
∵AD=2AC，DC=2BC，
∴AD=8，DC=4

3

．…（2分）
∴AC²+CD²=16+48=64，AD²=64
∴AD²=AC²+CD²．                …（1分）
因此，△ACD为直角三角形，∠ACD=90°（勾股定理逆定理）．…（1分）

（2）解：∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD，…（1分）
∴S四边形ABCD=

1

2

×2×2

3

+

1

2

×4×4

3

=10

3

．…（1分）
【说明】括号内注明理由的不写要扣分，一个（1分）．
（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=4（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．…（1分）
在Rt△ABC中，∵∠B=90°
∴BC²+AB²=AC²（勾股定理）…（1分）
得 BC=

AC2-AB2

=2

3

．…（1分）
∵AD=2AC，DC=2BC，
∴AD=8，DC=4

3

．…（2分）
∴AC²+CD²=16+48=64，AD²=64
∴AD²=AC²+CD²．                …（1分）
因此，△ACD为直角三角形，∠ACD=90°（勾股定理逆定理）．…（1分）

（2）解：∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD，…（1分）
∴S四边形ABCD=

1

2

×2×2

3

+

1

2

×4×4

3

=10

3

．…（1分）
【说明】括号内注明理由的不写要扣分，一个（1分）．