试题

如图，△ABC中，已知AB=AC，D是AC上的一点，CD=9，BC=15，BD=12，
（1）证明：△BCD是直角三角形；
（2）求：△ABC的面积．

（1）证明：∵CD=9，BD=12，
∴CD²+BD²=81+144=225．
∵BC=15，
∴BC²=225．
∴CD²+BD²=BC²．
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°（勾股定理逆定理）．
（2）解：设AD=x，则AC=x+9．
∵AB=AC，
∴AB=x+9．
∵∠BDC=90°，
∴∠ADB=90°°．
∴AB²=AD²+BD²（勾股定理）．
即（x+9）²=x²+12²
解得：x=

7

2

．
∴AC=

7

2

+9=

25

2

．
∴S_△ABC=

1

2

AC·BD=75．
（1）证明：∵CD=9，BD=12，
∴CD²+BD²=81+144=225．
∵BC=15，
∴BC²=225．
∴CD²+BD²=BC²．
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°（勾股定理逆定理）．
（2）解：设AD=x，则AC=x+9．
∵AB=AC，
∴AB=x+9．
∵∠BDC=90°，
∴∠ADB=90°°．
∴AB²=AD²+BD²（勾股定理）．
即（x+9）²=x²+12²
解得：x=

7

2

．
∴AC=

7

2

+9=

25

2

．
∴S_△ABC=

1

2

AC·BD=75．