试题

（2009·朝阳区一模）（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45度．求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图2，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；
（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值．

（1）证明：如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．
以CE为一边作∠ECF=∠ECB，在CF上
截取CF=CB，则CF=CB=AC．
连接DF、EF，则△CFE≌△CBE．
∴FE=BE，∠1=∠B=45°．
∵∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°，
∴∠DCA+∠ECB=45°．
∴∠DCF=∠DCA．
又∵AC=CF，CD=CD
∴△DCF≌△DCA．
∴∠2=∠A=45°，DF=AD．
∴∠DFE=∠2+∠1=90°．
∴△DFE是直角三角形．
又AD=DF，EB=EF，
∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形．

（2）解：当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
如图2，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD=DF，EF=BE．
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．
若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE．
∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
且顶角∠DFE为120°．

（3）解：如图1，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠CDB=∠ACD+∠A．
又∠DCE=∠A=45°，
∴∠ACE=∠CDB．
又∠A=∠B，
∴△ACE∽△BDC．
∴

AE

BC

=

AC

BD

．
∴BD·AE=AC·BC．
∵Rt△ACB中，由AC²+BC²=AB²=10²，得AC²=BC²=50．
∴BD·AE=AC·BC=AC²=50．
（1）证明：如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．
以CE为一边作∠ECF=∠ECB，在CF上
截取CF=CB，则CF=CB=AC．
连接DF、EF，则△CFE≌△CBE．
∴FE=BE，∠1=∠B=45°．
∵∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°，
∴∠DCA+∠ECB=45°．
∴∠DCF=∠DCA．
又∵AC=CF，CD=CD
∴△DCF≌△DCA．
∴∠2=∠A=45°，DF=AD．
∴∠DFE=∠2+∠1=90°．
∴△DFE是直角三角形．
又AD=DF，EB=EF，
∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形．

（2）解：当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
如图2，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD=DF，EF=BE．
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．
若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE．
∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
且顶角∠DFE为120°．

（3）解：如图1，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠CDB=∠ACD+∠A．
又∠DCE=∠A=45°，
∴∠ACE=∠CDB．
又∠A=∠B，
∴△ACE∽△BDC．
∴

AE

BC

=

AC

BD

．
∴BD·AE=AC·BC．
∵Rt△ACB中，由AC²+BC²=AB²=10²，得AC²=BC²=50．
∴BD·AE=AC·BC=AC²=50．