题目：
已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=a，BC=2a．在AC、BC上分别有一动点P、Q，且PQ始终平分△ABC的面积．作PR⊥CA交AB于R，QS⊥BC交AB于S．线段BS、SR、RA能否构成一个直角三角形，证明你的猜想．答案
证明：∵直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=a，BC=2a，∴AB=
| AC2+BC2 |
| 5 |
设CP=b，则AP=a-b，
设CQ=x，∵S△CPQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴x=
| a2 |
| b |
| a2 |
| b |
| a2 |
| b |
| 2ab-b2 |
| b |
∵PR∥BC，
∴△APR∽△ACB，
∴
| AP |
| AC |
| AR |
| AB |
∴AR=
| AP·AB |
| AC |
(a-b)·
| ||
| a |
| 5 |
同理，BS=
| BQ·AB |
| BC |
| ||||
| 2a |
| ||
| 2b |
∴SR=
| 5 |
| 5 |
| ||
| 2b |
2
| ||||
| 2b |
| ||
| 2b |
∵[
| 5 |
| ||
| 2b |
| ||
| 2b |
即AR2+BS2=SR2．
∴线段BS、SR、RA能构成一个直角三角形．
证明：∵直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=a，BC=2a，
∴AB=
| AC2+BC2 |
| 5 |
设CP=b，则AP=a-b，
设CQ=x，∵S△CPQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴x=
| a2 |
| b |
| a2 |
| b |
| a2 |
| b |
| 2ab-b2 |
| b |
∵PR∥BC，
∴△APR∽△ACB，
∴
| AP |
| AC |
| AR |
| AB |
∴AR=
| AP·AB |
| AC |
(a-b)·
| ||
| a |
| 5 |
同理，BS=
| BQ·AB |
| BC |
| ||||
| 2a |
| ||
| 2b |
∴SR=
| 5 |
| 5 |
| ||
| 2b |
2
| ||||
| 2b |
| ||
| 2b |
∵[
| 5 |
| ||
| 2b |
| ||
| 2b |
即AR2+BS2=SR2．
∴线段BS、SR、RA能构成一个直角三角形．