试题

题目：
青果学院（2004·海淀区）已知：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，BD=BC=4
3
，求梯形的面积．
答案
青果学院解：方法一：过点B作BE⊥DA交DA的延长线于E．（1分）
∵∠BAD=120°，
∴∠EAB=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3=30°．（2分）
在Rt△BDE中，∵BD=4
3
，
∴BE=
1
2
BD=2
3
，ED=BD×cos30°=6．（4分）
在Rt△BEA中，
∴AE=BE·cot60°=2
3
×
3
3
=2，
∴AD=ED-AE=6-2=4，（5分）青果学院
∴S梯形=
1
2
（AD+BC）·EB=
1
2
×（4+4
3
）×2
3
=4
3
+12．（6分）

方法二：过点A作AE⊥BD于E，过点D作DF⊥BC于F．（1分）
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB=AD．
∵∠BAD=120°，
∴∠2=∠3=∠1=30°．（2分）
∵BD=4
3
，
∴ED=
1
2
BD=2
3
．（3分）
在Rt△AED中，AD=
2
3
cos30°
=4，（4分）
在Rt△BFD中，DF=
1
2
BD=2
3
，（5分）
∴S梯形=
1
2
（AD+BC）·DF=
1
2
×（4+4
3
）×2
3
=4
3
+12．（6分）
青果学院解：方法一：过点B作BE⊥DA交DA的延长线于E．（1分）
∵∠BAD=120°，
∴∠EAB=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3=30°．（2分）
在Rt△BDE中，∵BD=4
3
，
∴BE=
1
2
BD=2
3
，ED=BD×cos30°=6．（4分）
在Rt△BEA中，
∴AE=BE·cot60°=2
3
×
3
3
=2，
∴AD=ED-AE=6-2=4，（5分）青果学院
∴S梯形=
1
2
（AD+BC）·EB=
1
2
×（4+4
3
）×2
3
=4
3
+12．（6分）

方法二：过点A作AE⊥BD于E，过点D作DF⊥BC于F．（1分）
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB=AD．
∵∠BAD=120°，
∴∠2=∠3=∠1=30°．（2分）
∵BD=4
3
，
∴ED=
1
2
BD=2
3
．（3分）
在Rt△AED中，AD=
2
3
cos30°
=4，（4分）
在Rt△BFD中，DF=
1
2
BD=2
3
，（5分）
∴S梯形=
1
2
（AD+BC）·DF=
1
2
×（4+4
3
）×2
3
=4
3
+12．（6分）
考点梳理
梯形；解直角三角形．
过点B作BE⊥DA交DA的延长线于E，则分别构成两个直角三角形，Rt△BDE，Rt△ABE，利用直角三角形的性质求得ED，BE，AD，BD的长，再利用梯形的面积公式即可求得梯形的面积．
此题考查梯形的性质及解直角三角形的综合运用．
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