试题

题目：
（2005·吉林）在矩形纸片ABCD中，AB=3
3
，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，A青果学院D与PQ相交于点H，∠BPE=30°．
（1）BE的长为
2
2
，QF的长为
1
1
；
（2）四边形PEFH的面积为
7
3
7
3
．
答案
2

1

7
3

解：（1）设BE=x，在Rt△PBE中，∠BPE=30°，
∴PE=2x，PB=
3
x，
由题意得EC=EP=2x，
∵BE+EC=BC，
∴3x=6，x=2，即BE=2，
∴EC=4，PB=2
3

∴PA=
3
，
在Rt△APH中，∠APH=60°，
∴AH=3，PH=2
3

∴HQ=PQ-PH=
3
，
在Rt△HQF中，∠QHF=30°，
tan∠QHF=
QF
HQ
，
∴QF=1；

（2）∵S梯形FECD=
1
2
（1+4）×3
3
=
15
2
3
，
∴S△HFQ=
3
2
，
∴S四边形PEFH=S梯形FECD-S△HFQ=
15
2
3
-
3
2
=7
3
．
考点梳理
解直角三角形；矩形的性质；梯形；翻折变换（折叠问题）．
（1）由于在Rt△PBE中，∠BPE=30°，设BE=x，然后根据三角函数的定义用x分别表示PE，PB，而BE+EC=BC，由此可以得到关于x的方程，解方程即可求出BE，接着求出PB，PA，PH，最后根据已知利用三角函数即可QF的值；
（2）根据已知可以得到四边形PEFH的面积等于梯形EFCD的面积减去三角形HFQ的面积，所以分别求出梯形EFCD的面积和三角形HFQ的面积即可．
此题考查综合解直角三角形，矩形的性质及翻折变换等知识点的掌握情况．
压轴题．
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