试题

（2005·绵阳）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AB=2，AD=1.6，CD=3．
（1）求BD，BC的长；
（2）画出△BCD的外接圆（不写画法，保留作图痕迹），并指出AD是否为该圆的切线；
（3）计算tanC的值．

解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
而∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△DCB，
∴

AB

DC

=

AD

BD

=

BD

BC

，
∴

2

3

=

1.6

BD

=

BD

BC

，
∴BD=2.4，BC=3.6．

（2）△BCD的外接圆如右图所示，AD不是其外接圆的切线．

（3）方法一：
过D作DE⊥BC于E．
设CE=x，则BE=3.6-x．
根据勾股定理，得BD²-BE²=DE²=CD²-CE²，
即2.4²-（3.6-x）²=DE²=3²-x²，
解得x=

9

4

，DE=

3 7

3

．
∴在Rt△CDE中，有tanC=

DE

CE

=

7

3

．

方法二：
过D作DF∥AB交BC于F，则ABFD是平行四边形，
所以DF=2，CF=BC-BF=3.6-1.6=2，
∴△CDF是等腰三角形．
过F作FG⊥CD于G，则FG²=CF²-（

1

2

CD）²=

7

4

，FG=

7

2

，
∴在Rt△CFG中，有tanC=

DE

CE

=

7

3

．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
而∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△DCB，
∴

AB

DC

=

AD

BD

=

BD

BC

，
∴

2

3

=

1.6

BD

=

BD

BC

，
∴BD=2.4，BC=3.6．

（2）△BCD的外接圆如右图所示，AD不是其外接圆的切线．

（3）方法一：
过D作DE⊥BC于E．
设CE=x，则BE=3.6-x．
根据勾股定理，得BD²-BE²=DE²=CD²-CE²，
即2.4²-（3.6-x）²=DE²=3²-x²，
解得x=

9

4

，DE=

3 7

3

．
∴在Rt△CDE中，有tanC=

DE

CE

=

7

3

．

方法二：
过D作DF∥AB交BC于F，则ABFD是平行四边形，
所以DF=2，CF=BC-BF=3.6-1.6=2，
∴△CDF是等腰三角形．
过F作FG⊥CD于G，则FG²=CF²-（

1

2

CD）²=

7

4

，FG=

7

2

，
∴在Rt△CFG中，有tanC=

DE

CE

=

7

3

．