试题

（2003·贵阳）如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，PE=4

3

，PB=4，∠AEB=60°．
（1）求证：△PDE∽△PCA；
（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；
（3）求⊙O的面积．（答案保留π）

（1）证明：由弦切角定理得∠PEB=∠EAB，
∵PC是∠APE的平分线，
∴∠CPE=∠CPA，
∴△PDE∽△PCA；

（2）解：由切割线定理得PE²=PA·PB，
∵PE=4

3

，PB=4，
∴PA=12，
∴PA+PB=16，PA·PB=48，
∴所求方程为：x²-16x+48=0；

（3）解：连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，
则BF是⊙O的直径，
∴∠BAF=90°，
∴∠AEB=∠F=60°
在Rt△ABF中，sin60°=

AF

BF

=

PA-PB

BF

=

12-4

BF

=

8

BF

=

3

2

，
∴BF=

16 3

3

．
∴⊙O的面积为：π（

BF

2

）²=π(

1

2

×

16 3

3

)2=

64π

3

（面积单位）．
（1）证明：由弦切角定理得∠PEB=∠EAB，
∵PC是∠APE的平分线，
∴∠CPE=∠CPA，
∴△PDE∽△PCA；

（2）解：由切割线定理得PE²=PA·PB，
∵PE=4

3

，PB=4，
∴PA=12，
∴PA+PB=16，PA·PB=48，
∴所求方程为：x²-16x+48=0；

（3）解：连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，
则BF是⊙O的直径，
∴∠BAF=90°，
∴∠AEB=∠F=60°
在Rt△ABF中，sin60°=

AF

BF

=

PA-PB

BF

=

12-4

BF

=

8

BF

=

3

2

，
∴BF=

16 3

3

．
∴⊙O的面积为：π（

BF

2

）²=π(

1

2

×

16 3

3

)2=

64π

3

（面积单位）．