试题

（2003·河南）如图，点D、C是以AB为直径的半圆上的两点，O为圆心，DE与AC相交于点E，OC∥AD，AB=5，cos∠CAB=0.8，求CE和DE的长．

解：OC交BD于F点，连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠D=90°，∠ACB=90°，
∵cos∠CAB=

AC

AB

=0.8，AB=5，
∴AC=4，
∴BC=

AB2-AC2

=3，
∵OC∥AD，
∴∠OFB=90°，即OF⊥DB，
∴DC弧=BC弧，DF=BF，
∴∠CBD=∠CAB，
在Rt△CBF中，cos∠CBF=0.8=

BF

BC

，则BF=2.4，
∴CF=

BC2-BF2

=1.8，
在Rt△CEF中，∠ECF=∠CAB，
∴cos∠ECF=0.8=

CF

EC

，
∴EC=

1.8

0.8

=

9

4

，
∴EF=

EC2-CF2

=

27

20

，
∵DE+EF=BF，
∴DE=2.4-

27

20

=1.05．
解：OC交BD于F点，连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠D=90°，∠ACB=90°，
∵cos∠CAB=

AC

AB

=0.8，AB=5，
∴AC=4，
∴BC=

AB2-AC2

=3，
∵OC∥AD，
∴∠OFB=90°，即OF⊥DB，
∴DC弧=BC弧，DF=BF，
∴∠CBD=∠CAB，
在Rt△CBF中，cos∠CBF=0.8=

BF

BC

，则BF=2.4，
∴CF=

BC2-BF2

=1.8，
在Rt△CEF中，∠ECF=∠CAB，
∴cos∠ECF=0.8=

CF

EC

，
∴EC=

1.8

0.8

=

9

4

，
∴EF=

EC2-CF2

=

27

20

，
∵DE+EF=BF，
∴DE=2.4-

27

20

=1.05．