试题

题目：
青果学院（2005·西宁）如图，已知⊙O与CA、CB相切于点A、B，OA=OB=2
3
cm，AB=6 cm，求∠ACB的度数．
答案
青果学院解：过O作OD⊥AB于D；
△OAB中，OA=OB，OD⊥AB；
∴AD=BD，∠AOD=∠BOD=
1
2
∠AOB（等腰三角形三线合一）；
Rt△BOD中，OB=2
3
，BD=3；
∴sin∠BOD=
BD
OB
=
3
2
，即∠BOD=60°；
∴∠AOB=120°；
∵CB、CA都是⊙O的切线，
∴∠OAC=∠OBC=90°；
∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-∠AOB=60°．
青果学院解：过O作OD⊥AB于D；
△OAB中，OA=OB，OD⊥AB；
∴AD=BD，∠AOD=∠BOD=
1
2
∠AOB（等腰三角形三线合一）；
Rt△BOD中，OB=2
3
，BD=3；
∴sin∠BOD=
BD
OB
=
3
2
，即∠BOD=60°；
∴∠AOB=120°；
∵CB、CA都是⊙O的切线，
∴∠OAC=∠OBC=90°；
∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-∠AOB=60°．
考点梳理
切割线定理；解直角三角形．
过O作OD⊥AB于D；根据等腰三角形三线合一的性质知：OD垂直平分AB，且OD平分∠AOB；
在Rt△OBD中，已知了OB、BD的长，可求出∠BOD的正弦值，进而可求出∠BOD、∠AOB的度数．
在四边形AOBC中，∠AOB和∠ACB互补，由此可求出∠ACB的度数．
此题考查了垂径定理、解直角三角形、多边形的内角和、切线的性质等知识．
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