试题

（2006·广安）如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且

AC

=

AD

，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G．
（1）求证：CE²=FG·FB；
（2）若tan∠CBF=

1

2

，AE=3，求⊙O的直径．

（1）证明：连接AC；
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
∵

AC

=

AD

，且AB是直径；
∴AB⊥CD；
即CE是Rt△ABC的高；
∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC；
∵CF是⊙O的切线，
∴∠FCB=∠A，CF²=FG·FB；
∴∠FCB=∠ECB；
∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB，
∴△BCF≌△BCE；
∴CE=CF，∠FBC=∠CBE；
∴CE²=FG·FB．

（2）解：∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，
∴∠ACE=∠CBF；
∴tan∠CBF=tan∠ACE=

1

2

=

AE

CE

；
∵AE=3，
∴

3

CE

=

1

2

·CE=6；
在Rt△ABC中，CE是高，
∴CE²=AE·EB，即6²=3EB，
∴EB=12；
∴⊙O的直径为：12+3=15．
（1）证明：连接AC；
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
∵

AC

=

AD

，且AB是直径；
∴AB⊥CD；
即CE是Rt△ABC的高；
∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC；
∵CF是⊙O的切线，
∴∠FCB=∠A，CF²=FG·FB；
∴∠FCB=∠ECB；
∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB，
∴△BCF≌△BCE；
∴CE=CF，∠FBC=∠CBE；
∴CE²=FG·FB．

（2）解：∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，
∴∠ACE=∠CBF；
∴tan∠CBF=tan∠ACE=

1

2

=

AE

CE

；
∵AE=3，
∴

3

CE

=

1

2

·CE=6；
在Rt△ABC中，CE是高，
∴CE²=AE·EB，即6²=3EB，
∴EB=12；
∴⊙O的直径为：12+3=15．