试题

（2006·宁波）已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于y轴对称，过H作⊙O的切线交y轴于点A（如图1）．
（1）求⊙O半径；
（2）sin∠HAO的值；
（3）如图2，设⊙O与y轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），连接并延长DE，DF交⊙O于点B，C，直线BC交y轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin∠CGO的大小怎样变化？请说明理由．

解：（1）点D（4，3）在⊙O上，
∴OD²=4²+3²，
∴OD=5，
∴⊙O的半径r=OD=5；（1分）

（2）如图1，连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，
∴∠HAO=∠OHQ
∴sin∠HAO=sin∠OHQ=

OQ

OH

=

3

5

；

（3）连接DH交y轴于点Q，连接OH交BC于点T（如图2）．
∵D与H关于y轴对称，
∴DH⊥EF，
又∵△DEF为等腰三角形，
∴DH平分∠BDC，
∴∠BDH=∠HDC，
∴

BH

=

CH

，
∵HO为⊙O半径，
∴OT⊥BC，
∴∠CGO=∠QHO，
∴当E、F两点在OP上运动时，sin∠CGO的值不变．
解：（1）点D（4，3）在⊙O上，
∴OD²=4²+3²，
∴OD=5，
∴⊙O的半径r=OD=5；（1分）

（2）如图1，连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，
∴∠HAO=∠OHQ
∴sin∠HAO=sin∠OHQ=

OQ

OH

=

3

5

；

（3）连接DH交y轴于点Q，连接OH交BC于点T（如图2）．
∵D与H关于y轴对称，
∴DH⊥EF，
又∵△DEF为等腰三角形，
∴DH平分∠BDC，
∴∠BDH=∠HDC，
∴

BH

=

CH

，
∵HO为⊙O半径，
∴OT⊥BC，
∴∠CGO=∠QHO，
∴当E、F两点在OP上运动时，sin∠CGO的值不变．