试题

（2006·沈阳）如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4．
（1）求点C的坐标；
（2）如图，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A′CB′的位置，其中A’C交直线OA于点E，A’B’分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A′B′C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）
（3）在（2）的基础上，将△A′CB′绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为

3

4

时，求直线CE的函数表达式．

解：（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，
∴C点的坐标为（-2，0）．

（2）△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC．

（3）如图1，过点E₁作E₁M⊥OC于点M．
∵S_△COE1=

1

2

CO·E₁M=

3

4

，
∴E₁M=

3

4

．
∵在Rt△E₁MO中，∠E₁OM=60°，则

-2k1+b1=0 - 1 4 k1+b1= 3 4

，
∴tan60°=

E1M

OM

&∴OM=

1

4

，
∴点E₁的坐标为（-

1

4

，

3

4

）．
设直线CE₁的函数表达式为y=k₁x+b₁，则

-2k1+b 1=0 - 1 4 k1+b1= 3 4

，
解得

k1= 3 7 b1= 2 3 7

．
∴y=

3

7

x+

2 3

7

．
同理，如图2所示，点E₂的坐标为（

1

4

，-

3

4

）．
设直线CE₂的函数表达式为y=k₂x+b₂，则

-2k2+b2=0 1 4 k2+b2=- 3 4

，
解得

k2=- 3 9 b2=- 2 3 9

．
∴y=-

3

9

x-

2 3

9

．
解：（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，
∴C点的坐标为（-2，0）．

（2）△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC．

（3）如图1，过点E₁作E₁M⊥OC于点M．
∵S_△COE1=

1

2

CO·E₁M=

3

4

，
∴E₁M=

3

4

．
∵在Rt△E₁MO中，∠E₁OM=60°，则

-2k1+b1=0 - 1 4 k1+b1= 3 4

，
∴tan60°=

E1M

OM

&∴OM=

1

4

，
∴点E₁的坐标为（-

1

4

，

3

4

）．
设直线CE₁的函数表达式为y=k₁x+b₁，则

-2k1+b 1=0 - 1 4 k1+b1= 3 4

，
解得

k1= 3 7 b1= 2 3 7

．
∴y=

3

7

x+

2 3

7

．
同理，如图2所示，点E₂的坐标为（

1

4

，-

3

4

）．
设直线CE₂的函数表达式为y=k₂x+b₂，则

-2k2+b2=0 1 4 k2+b2=- 3 4

，
解得

k2=- 3 9 b2=- 2 3 9

．
∴y=-

3

9

x-

2 3

9

．