试题

（2006·双柏县）阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB=

AD

c

，sinC=

AD

b

，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，
即

b

sinB

=

c

sinC

．同理有

c

sinC

=

a

sinA

，

a

sinA

=

b

sinB

．
所以

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

…（*）
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A

用关系式

求出

∠B；
第二步：由条件∠A、∠B

用关系式

求出

∠C；
第三步：由条件

用关系式

求出

c．
（2）如图，已知：∠A=60°，∠C=75°，a=6，运用上述结论（*）试求b．

解：（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠B，运用上述结论

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠A、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠B·

a

SinA

=

b

SinB

·∠A；
第二步：由条件∠A、∠B·∠A+∠B+∠C=180°·∠C；
第三步：由条件b，∠B，∠C·

b

SinB

=

c

SinC

·c．

（2）如图，已知：∠A=60°，∠C=75°，a=6，
运用上述结论

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

试求b，
∵∠A=60°，∠C=75°，
∴∠B=180°-∠A-∠C
=180°-60°-75°
=45°，
∵a=6，根据上述结论有：

6

sin60°

=

b

sin45°

，
即

6

3 2

=

b

2 2

，
∴b=2

6

．