试题

（2007·陕西）如图，⊙O的半径均为R．
（1）请在图①中画出弦AB，CD，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦AB，CD，使图②仍为中心对称图形；
（2）如图③，在⊙O中，AB=CD=m（0＜m＜2R），且AB与CD交于点E，夹角为锐角α．求四边形ACBD的面积（用含m，α的式子表示）；
（3）若线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD=

2

R，你认为在以点A，B，C，D为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．

解：（1）答案不唯一，如图①、②

（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，
∵S_△ACD=

1

2

CD·AM=

1

2

CD·AE·sinα，S_△BCD=

1

2

CD·BN=

1

2

CD·BE·sinα，
∴S_{四边形ACBD}=S_△ACD+S_△BCD=

1

2

CD·AE·sinα+

1

2

CD·BE·sinα
=

1

2

CD·（AE+BE）sinα=

1

2

CD·AB·sinα=

1

2

m²·sinα．

（3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB与CD相交时，由（2）及AB=CD=

2

R知S_{四边形ACBD}=

1

2

AB·CD·sinα=R²sinα，
②当AB与CD不相交时，如图④．

∵AB=CD=

2

R，OC=OD=OA=OB=R，
∴∠AOB=∠COD=90°．
而S_{四边形ABCD}=S_Rt△AOB+S_Rt△OCD+S_△AOD+S_△BOC=R²+S_△AOD+S_△BOC
延长BO交⊙O于点E，连接EC，
则∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S_△AOD=S_△OCE
∴S_△AOD+S_△BOC=S_△OCE+S_△BOC=S_△BCE
过点C作CH⊥BE，垂足为H，
则S_△BCE=

1

2

BE·CH=R·CH．
∴当CH=R时，S_△BCE取最大值R²
综合①、②可知，当∠1=∠2=90°．
即四边形ABCD是边长为

2

R的正方形时，S_{四边形ABCD}=R²+R²=2R²为最大值．
解：（1）答案不唯一，如图①、②

（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，
∵S_△ACD=

1

2

CD·AM=

1

2

CD·AE·sinα，S_△BCD=

1

2

CD·BN=

1

2

CD·BE·sinα，
∴S_{四边形ACBD}=S_△ACD+S_△BCD=

1

2

CD·AE·sinα+

1

2

CD·BE·sinα
=

1

2

CD·（AE+BE）sinα=

1

2

CD·AB·sinα=

1

2

m²·sinα．

（3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB与CD相交时，由（2）及AB=CD=

2

R知S_{四边形ACBD}=

1

2

AB·CD·sinα=R²sinα，
②当AB与CD不相交时，如图④．

∵AB=CD=

2

R，OC=OD=OA=OB=R，
∴∠AOB=∠COD=90°．
而S_{四边形ABCD}=S_Rt△AOB+S_Rt△OCD+S_△AOD+S_△BOC=R²+S_△AOD+S_△BOC
延长BO交⊙O于点E，连接EC，
则∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S_△AOD=S_△OCE
∴S_△AOD+S_△BOC=S_△OCE+S_△BOC=S_△BCE
过点C作CH⊥BE，垂足为H，
则S_△BCE=

1

2

BE·CH=R·CH．
∴当CH=R时，S_△BCE取最大值R²
综合①、②可知，当∠1=∠2=90°．
即四边形ABCD是边长为

2

R的正方形时，S_{四边形ABCD}=R²+R²=2R²为最大值．