试题

（2008·白银）附加题：由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，得S_△ABC=

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bc·sin∠A①，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．
如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β∵S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC，由公式①，得

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AC·BC·sin（α+β）=

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2

AC·CD·sinα+

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BC·CD·sinβ，即AC·BC·sin（α+β）=AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ②
你能利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD吗？不能，说明理由；能，写出解决过程．

解：由题消去AC、BC、CD，
得到sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ，
给AC·BC·sin（α+β）=AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ，
两边同除以AC·BC得，
sin（α+β）=

CD

BC

·sinα+

CD

AC

·sinβ，
∵

CD

BC

=cosβ，

CD

AC

=cosα，
∴sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ．
解：由题消去AC、BC、CD，
得到sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ，
给AC·BC·sin（α+β）=AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ，
两边同除以AC·BC得，
sin（α+β）=

CD

BC

·sinα+

CD

AC

·sinβ，
∵

CD

BC

=cosβ，

CD

AC

=cosα，
∴sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ．