试题

（2008·广州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米．
（1）当t=4时，求S的值；
（2）当4≤t≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

解：（1）当t=4时，CQ=4cm，
过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
∵AE=DF=

3

cm，∠AEB=∠DFC=90°，AB=CD，
∴△ABE≌△DFC，
∴BE=CF，
∵EF=AD=2cm，BC=4cm，
∴BE=CF=1cm，
∴点D与点P重合，
∴S_△BDC=

1

2

BC·DF=

1

2

×4×

3

=2

3

（cm²）；
（2）当4≤t＜6时，P在线段AD上，作KH⊥QH，过点M作MN⊥BC于N，
∵∠Q=30°，∠1=60°，
∴∠2=∠1-∠Q=30°，
∠3=∠2=30°，
∴QB=BM=QC-BC=t-4，
∵∠R=∠Q=30°，∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠CKR=∠DCB-∠R=30°=∠R，
∴KC=CR=6-t，
∴HK=KC·sin60°=

3

2

（6-t）
∴同理：MN=

3

2

（t-4），
∴S=S_△PQR-S_△BQM-S_△CRK=

1

2

QR·PG-

1

2

BQ·MN-

1

2

CR·KH
=

1

2

×6×

3

-

1

2

×

3

2

（t-4）²-

1

2

×

3

2

（6-t）²=-

3

2

t²+5

3

t-10

3

，
∵a=-

3

2

＜0，开口向下，
∴S有最大值，
当t=-

5 3

2×(- 3 2 )

=5时，S最大值为

5 3

2

；
当6≤t≤10时，P在线段DA的延长线上，
∵∠1=60°，∠2=30°，
∴∠3=90°
∴RC=t-6，BR=4-RC=4-（t-6）=10-t，
∴TB=

1

2

BR=

10-t

2

，TR=

3

2

BR=

3

2

（10-t），
∴S=

1

2

TB·TR=

1

2

×

10-t

2

×

3

2

（10-t）=

3

8

t²-

5 3

2

t+

25 3

2

，
当a＞0时，开口向上，-

b

2a

=10，
∴t=6时，S最大值为2

3

；
综上，t=5时，S最大值为

5 3

2

．
解：（1）当t=4时，CQ=4cm，
过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
∵AE=DF=

3

cm，∠AEB=∠DFC=90°，AB=CD，
∴△ABE≌△DFC，
∴BE=CF，
∵EF=AD=2cm，BC=4cm，
∴BE=CF=1cm，
∴点D与点P重合，
∴S_△BDC=

1

2

BC·DF=

1

2

×4×

3

=2

3

（cm²）；
（2）当4≤t＜6时，P在线段AD上，作KH⊥QH，过点M作MN⊥BC于N，
∵∠Q=30°，∠1=60°，
∴∠2=∠1-∠Q=30°，
∠3=∠2=30°，
∴QB=BM=QC-BC=t-4，
∵∠R=∠Q=30°，∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠CKR=∠DCB-∠R=30°=∠R，
∴KC=CR=6-t，
∴HK=KC·sin60°=

3

2

（6-t）
∴同理：MN=

3

2

（t-4），
∴S=S_△PQR-S_△BQM-S_△CRK=

1

2

QR·PG-

1

2

BQ·MN-

1

2

CR·KH
=

1

2

×6×

3

-

1

2

×

3

2

（t-4）²-

1

2

×

3

2

（6-t）²=-

3

2

t²+5

3

t-10

3

，
∵a=-

3

2

＜0，开口向下，
∴S有最大值，
当t=-

5 3

2×(- 3 2 )

=5时，S最大值为

5 3

2

；
当6≤t≤10时，P在线段DA的延长线上，
∵∠1=60°，∠2=30°，
∴∠3=90°
∴RC=t-6，BR=4-RC=4-（t-6）=10-t，
∴TB=

1

2

BR=

10-t

2

，TR=

3

2

BR=

3

2

（10-t），
∴S=

1

2

TB·TR=

1

2

×

10-t

2

×

3

2

（10-t）=

3

8

t²-

5 3

2

t+

25 3

2

，
当a＞0时，开口向上，-

b

2a

=10，
∴t=6时，S最大值为2

3

；
综上，t=5时，S最大值为

5 3

2

．