试题

（2008·哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，直线y=

1

2

x+

5

与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A′B′相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．
（1）求点D的坐标；
（2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；
（3）若以动点为E圆心，以2

5

为半径作⊙E，连接A′E，t为何值时，Tan∠EA′B′=

1

8

？并判断此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明理由．

解：（1）由题意知A（-2

5

，0）B（0，

5

），
∴OA=2

5

，OB=

5

，
∴AB=

(2 5 )2+( 5 )2

=5，
∵OD⊥AB，
∴

1

2

OA·OB=

1

2

AB·OD，
∴OD=

2 5 × 5

5

=2．
过点D作DH⊥x轴于点H．（如图1）
∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠ODH=∠BAO，
∴tan∠ODH=tan∠BAO=

1

2

，
∴DH=2OH．
设OH=a，则DH=2a．
∴a²+4a²=4，
∴a=

2 5

5

．
∴OH=

2 5

5

，DH=

4 5

5

．
∴D（-

2 5

5

，

4 5

5

）；

（2）设DE与y轴交于点M．（如图2）
∵四边形DFB′G是平行四边形，
∴DF∥B′G，
∴∠1=∠A′．
又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BAO=∠2．
∵∠BAO=∠A′，
∴∠1=∠2，
∴DM=OM．（1分）
∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴BM=DM，
∴BM=OM，
∴点M是OB中点，
∴M（0，

5

2

）．
设线段DE所在直线解析式为y=kx+b．
把M（0，

5

2

）D（-

2 5

5

，

4 5

5

）代入y=kx+b，
得

5 2 =b 4 5 5 =- 2 5 5 k+b

，解得

k=- 3 4 b= 5 2

．
∴线段DE所在直线的解析式为y=-

3

4

x+

5

2

；

（3）设直线A′B′交x轴于点N，（如图3）过点A′作A′K⊥x轴于点K．
∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=2

5

，
∴△AOD≌△A′OK，
∴OK=2，
∴A′K=4，
∴A′（-2，4）．
过点B′作B′T⊥y轴于点T，同理△OBD≌△B′OT，
∴B′（2，1）．
设直线A’B’的解析式为y=k₁x+b₁．
则

1=2k1+b1 4=-2k1+b1

，解得

k1=- 3 4 b1= 5 2

．
∴直线A′B′的解析式为y=-

3

4

x+

5

2

．
∴N（

10

3

，0），
∴KN=

16

3

，
∴A’N=

A′K2+KN2

=

20

3

．
当E点在N点左侧点E₁位置时，过点E₁作E₁Q₁⊥A’N于点Q₁．
∵tan∠A’NK=

A′K

KN

=

3

4

，
∴设E₁Q₁=3m，则Q₁N=4m．
又∵tan∠E₁A’B’=

1

8

，
∴A’Q₁=24m，
∴28m=

20

3

，
∴m=

5

21

，
∴E₁N=

25

21

，
∴OE₁=ON-E₁N=

15

7

，此时t=

15

7

．
过点E₁作E₁S₁⊥A’O于点S₁．
∵sin∠E₁OS₁=sin∠A′OK，
∴

E1S1

OE1

=

A′K

OA′

，
∴E₁S₁=

4

2 5

×

15

7

=

6 5

7

．
∵⊙E的半径为2

5

，而

6 5

7

＜2

5

，
∴⊙E₁与直线A’O相交．
当E点在N点右侧点E₂位置时，
过点E₂作E₂Q₂⊥A′N于点Q₂．
同理OE₂=5，此时t=5．
过点E₂作E₂S₂⊥A′O于点S₂．
同理E₂S₂=

4

2 5

×5=2

5

．
∵⊙E的半径为2

5

，
∴⊙E₂与直线A′O相切．
∴当t=

15

7

或t=5时，tan∠EA′B′=

1

8

；
当t=

15

7

时直线A′O与⊙E相交，当t=5时直线A′O与⊙E相切．
解：（1）由题意知A（-2

5

，0）B（0，

5

），
∴OA=2

5

，OB=

5

，
∴AB=

(2 5 )2+( 5 )2

=5，
∵OD⊥AB，
∴

1

2

OA·OB=

1

2

AB·OD，
∴OD=

2 5 × 5

5

=2．
过点D作DH⊥x轴于点H．（如图1）
∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠ODH=∠BAO，
∴tan∠ODH=tan∠BAO=

1

2

，
∴DH=2OH．
设OH=a，则DH=2a．
∴a²+4a²=4，
∴a=

2 5

5

．
∴OH=

2 5

5

，DH=

4 5

5

．
∴D（-

2 5

5

，

4 5

5

）；

（2）设DE与y轴交于点M．（如图2）
∵四边形DFB′G是平行四边形，
∴DF∥B′G，
∴∠1=∠A′．
又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BAO=∠2．
∵∠BAO=∠A′，
∴∠1=∠2，
∴DM=OM．（1分）
∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴BM=DM，
∴BM=OM，
∴点M是OB中点，
∴M（0，

5

2

）．
设线段DE所在直线解析式为y=kx+b．
把M（0，

5

2

）D（-

2 5

5

，

4 5

5

）代入y=kx+b，
得

5 2 =b 4 5 5 =- 2 5 5 k+b

，解得

k=- 3 4 b= 5 2

．
∴线段DE所在直线的解析式为y=-

3

4

x+

5

2

；

（3）设直线A′B′交x轴于点N，（如图3）过点A′作A′K⊥x轴于点K．
∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=2

5

，
∴△AOD≌△A′OK，
∴OK=2，
∴A′K=4，
∴A′（-2，4）．
过点B′作B′T⊥y轴于点T，同理△OBD≌△B′OT，
∴B′（2，1）．
设直线A’B’的解析式为y=k₁x+b₁．
则

1=2k1+b1 4=-2k1+b1

，解得

k1=- 3 4 b1= 5 2

．
∴直线A′B′的解析式为y=-

3

4

x+

5

2

．
∴N（

10

3

，0），
∴KN=

16

3

，
∴A’N=

A′K2+KN2

=

20

3

．
当E点在N点左侧点E₁位置时，过点E₁作E₁Q₁⊥A’N于点Q₁．
∵tan∠A’NK=

A′K

KN

=

3

4

，
∴设E₁Q₁=3m，则Q₁N=4m．
又∵tan∠E₁A’B’=

1

8

，
∴A’Q₁=24m，
∴28m=

20

3

，
∴m=

5

21

，
∴E₁N=

25

21

，
∴OE₁=ON-E₁N=

15

7

，此时t=

15

7

．
过点E₁作E₁S₁⊥A’O于点S₁．
∵sin∠E₁OS₁=sin∠A′OK，
∴

E1S1

OE1

=

A′K

OA′

，
∴E₁S₁=

4

2 5

×

15

7

=

6 5

7

．
∵⊙E的半径为2

5

，而

6 5

7

＜2

5

，
∴⊙E₁与直线A’O相交．
当E点在N点右侧点E₂位置时，
过点E₂作E₂Q₂⊥A′N于点Q₂．
同理OE₂=5，此时t=5．
过点E₂作E₂S₂⊥A′O于点S₂．
同理E₂S₂=

4

2 5

×5=2

5

．
∵⊙E的半径为2

5

，
∴⊙E₂与直线A′O相切．
∴当t=

15

7

或t=5时，tan∠EA′B′=

1

8

；
当t=

15

7

时直线A′O与⊙E相交，当t=5时直线A′O与⊙E相切．