试题

（2008·聊城）小亮家窗户上的遮雨罩是一种玻璃钢制品，它的顶部是圆柱侧面的一部分（如图1），它的侧面边缘上有两条圆弧（如图2），其中顶部圆弧AB的圆心O₁在竖直边缘AD上，另一条圆弧BC的圆心O₂在水平边缘DC的延长线上，其圆心角为90°，请你根据所标示的尺寸（单位：cm）解决下面的问题．（玻璃钢材料的厚度忽略不计，π取3.1416）
（1）计算出弧AB所对的圆心角的度数（精确到0.01度）及弧AB的长度；（精确到0.1cm）
（2）计算出遮雨罩一个侧面的面积；（精确到1cm²）
（3）制做这个遮雨罩大约需要多少平方米的玻璃钢材料．（精确到0.1平方米）

解：（1）易知BE=60，AE=50，连接O₁B，设弧AB的半径为R．
在Rt△O₁BE中，由勾股定理得：R²=60²+（R-50）²．
解得：R=61．
∵sin∠BO₁E=

BE

R

=

60

61

，
∴∠BO₁E≈79.61度．
∴弧AB的长

79.61

180

×π×61≈84.8；

（2）扇形O₁AB的面积=

1

2

×84.8×61≈2586.4（cm²）；
扇形O₂BC的面积=

1

4

×π×40²=400π≈1256.6（cm²）；
梯形O₁BO₂D的面积=

1

2

×（29+40）×60=2070（cm²）；
∴遮雨罩一个侧面的面积=扇形O₁AB的面积+梯形O₁BO₂D的面积-扇形O₂BC的面积
=2586.4+2070-1256.6≈3400（cm²）；

（3）遮雨罩顶部的面积=84.8×180=15264（cm²）．
∴遮雨罩的总面积=3400×2+15264=22064（cm²）≈2.2（m²）．
制做这个遮雨罩大约需要2.2平方米玻璃钢材料．
解：（1）易知BE=60，AE=50，连接O₁B，设弧AB的半径为R．
在Rt△O₁BE中，由勾股定理得：R²=60²+（R-50）²．
解得：R=61．
∵sin∠BO₁E=

BE

R

=

60

61

，
∴∠BO₁E≈79.61度．
∴弧AB的长

79.61

180

×π×61≈84.8；

（2）扇形O₁AB的面积=

1

2

×84.8×61≈2586.4（cm²）；
扇形O₂BC的面积=

1

4

×π×40²=400π≈1256.6（cm²）；
梯形O₁BO₂D的面积=

1

2

×（29+40）×60=2070（cm²）；
∴遮雨罩一个侧面的面积=扇形O₁AB的面积+梯形O₁BO₂D的面积-扇形O₂BC的面积
=2586.4+2070-1256.6≈3400（cm²）；

（3）遮雨罩顶部的面积=84.8×180=15264（cm²）．
∴遮雨罩的总面积=3400×2+15264=22064（cm²）≈2.2（m²）．
制做这个遮雨罩大约需要2.2平方米玻璃钢材料．